@bzoj - 2395@ [Balkan 2011]Timeismoney

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• @description@
• @solution@
• @accepted code@
• @details@

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@description@

有n個城市(編號從0..n-1)，m條公路(雙向的)，從中選擇n-1條邊，使得任意的兩個城市可以連通，一條邊須要的c的費用和t的時間，定義一個方案的權值 v = (n-1條邊的費用和)*(n-1條邊的時間和)，你的任務是求一個方案使得v最小。

Input
第一行兩個整數n,m,接下來每行四個整數a,b,c,t,表示有一條公路從城市a到城市b須要t時間和費用c
Output
僅一行兩個整數sumc，sumt,（sumc表示使得v最小時的費用和，sumc表示最小的時間和） 若是存在多個解使得sumc*sumt相等，輸出sumc最小的

Sample Input
5 7
0 1 161 79
0 2 161 15
0 3 13 153
1 4 142 183
2 4 236 80
3 4 40 241
2 1 65 92
Sample Output
279 501

HINT
【數據規模】
1<=N<=200, 1<=m<=10000, 0<=a,b<=n-1, 0<=t,c<=255。
有5%的數據m=n-1
有40%的數據有t=c
對於100%的數據如上所述

@solution@

很是經典的題.jpg。

假如將 (sumc, sumt) 當作一個座標，那麼一個可行生成樹方案對應了座標系中的一個點。

能夠發現：只有下凸包上的點纔可能成爲答案。
若是不在下凸包上，那麼能夠做原點到該點的直線，它與凸包的交點顯然更優。
同時，一條線段確定取兩個端點獲得的乘積最小（寫出表達式發現是二次函數）。

由於三點共線確定不優，因此凸包上的斜率互不相同且遞減。所以，凸包上的點最多隻有 \(O(\sqrt{N*\max\{c, t\}})\) 個點。
咱們只須要嘗試找出凸包上的點並更新答案便可。

考慮兩個一定在凸包內的點 A(minx, y) 與 B(x, miny)（不可能找到更大的凸包嚴格包含這兩個點）。
若是忽視掉下凸包中斜率爲正的部分（這部分確定不優），這兩個點就是凸包上的點橫縱座標的邊界。

咱們根據直線 AB，找該直線在凸包上對應的切線，就能夠又找到一個新的凸包上的點。
其實就是距離 AB 最遠的點 C。距離最遠能夠轉成 ABC 的面積最大，而後能夠寫出叉積。
根據叉積式子再作一遍最大生成樹（注意是最大）就能夠找到 C 了。

而後分治 AC, CB 便可。
時間複雜度的一個上界爲 \(O(\sqrt{N*\max\{c, t\}}*M\log M)\)。

@accepted code@

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 200;
const int MAXM = 10000;
const int INF = int(1E9);
typedef long long ll;
int n, m;
struct point{
    int c, t; ll k;
    point(int _c=0, int _t=0) : c(_c), t(_t), k(1LL*_c*_t) {}
    friend point operator + (point a, point b) {
        return point(a.c + b.c, a.t + b.t);
    }
}ans(INF, INF);
void update(point p) {
    if( p.k < ans.k || (p.k == ans.k && p.c < ans.c) )
        ans = p;
}
int a, b;
struct edge{
    int u, v; point p;
    ll get() {return 1LL*a*p.c + 1LL*b*p.t;}
    friend bool operator < (edge a, edge b) {
        return a.get() < b.get();
    }
}e[MAXM + 5];
int fa[MAXN + 5];
int find(int x) {
    return fa[x] = (fa[x] == x ? x : find(fa[x]));
}
point get() {
    for(int i=1;i<=n;i++) fa[i] = i;
    sort(e + 1, e + m + 1);
    point ret(0, 0);
    for(int i=1;i<=m;i++) {
        int fu = find(e[i].u), fv = find(e[i].v);
        if( fu != fv ) {
            ret = ret + e[i].p;
            fa[fu] = fv;
        }
    }
    return ret;
}
void solve(point A, point B) {
    a = (A.t - B.t), b = (B.c - A.c);
    point C = get();
    if( a*C.c + b*C.t + (B.t - A.t)*B.c + (A.c - B.c)*B.t >= 0 )
        return ;
    update(C), solve(A, C), solve(C, B);
}
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i=1;i<=m;i++) {
        scanf("%d%d%d%d", &e[i].u, &e[i].v, &e[i].p.c, &e[i].p.t);
        e[i].u++, e[i].v++;
    }
    a = 1, b = 0; point A = get(); update(A);
    a = 0, b = 1; point B = get(); update(B);
    solve(A, B);
    printf("%d %d\n", ans.c, ans.t);
}

@details@

其實這個模型之因此經典，是由於它的可遷移性很強。
好比給你整一個下一次最小乘積最短路，最小乘積最小割之類的。

另外，咱們 01 分數規劃 + 最小生成樹，儘管平時用的是二分，其實也能夠採用幾何方法來作。 可是複雜度就很玄妙了。