插值-拉格朗日插值法

朗格朗日插值法的定義

原理

通常地，若已知[]在互不相同 n+1 個點[]處的函數值[]( 即該函數過[] 這n+1個點），則能夠考慮構造一個過這n+1 個點的、次數不超過n的多項式[] ，使其知足：

[]

要估計任一點ξ，ξ≠xi,i=0,1,2,...,n,則能夠用Pn（ξ）的值做爲準確值f(ξ)的近似值，此方法叫作「插值法」。

稱式（*）爲插值條件（準則），含xi(i=0,1,...,n)的最小區間[a,b]，其中a=min{x0,x1,...,xn}，b=max{x0,x1,...,xn}。

知足插值條件的、次數不超過n的多項式是存在並且是惟一的。

定義

對某個多項式函數，已知有給定的k + 1個取值點： []

假設任意兩個不一樣的x都互不相同，那麼應用拉格朗日插值公式所獲得的拉格朗日插值多項式爲：

其中每一個爲拉格朗日基本多項式（或稱插值基函數），其表達式爲：

例子

例如：當n=4時，上面的公式可簡化爲：

這是一個過4個點的惟一的三次多項式。

我的體會

拉格朗日插值法用於補充缺失值，原理就是過N個點確定會有一個多項式能知足條件，多項式次數最高是N-1（百度百科中的定義以N+1個數爲樣本，實際上是同樣的）。設多項式的每一項的x爲（x0，x1……xN），則代入每個點，就能獲得多項式係數，也就能獲得多項式。

我的感受這種插值方法不會丟失數據信息，可是因爲插值節點增減時，插值多項式會隨之變化，實際上會影響效率，所以並非比較推薦的插值方法（在小規模數據中可使用）。

Python應用

在Python中，主要用scipy.interpolate（interpolate就是插值的意思）中的lagrange函數來實現 先來看看官方文檔： scipy.interpolate.lagrange(x, w) 該函數會返回一個拉格朗日插值多項式，參數是x和w，兩個一維數組，經過這兩個參數返回多項式。 另外注意，這個函數是數值不穩定的，最好一次性不要取超過20個元素（數組裏建議不要超過20個元素）

參數
x:表明的是點中的x軸，是一個數組
w:表明的是y軸，也就是f(x)，一樣也是一個數組

返回值
返回一個numpy.poly1d 的實例（用來表示多項式的類）

在scipy.interpolate.lagrange(x, w)後面加(a)，表明的意思是，返回插值裏面的第a個值，直接返回的是插值

示例

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.interpolate import lagrange #拉格朗日插值

df = pd.read_excel(r"missing_data.xls", header=None)

def lagrange_interpolate(s, n, k=5):#拉格朗日插值法函數
    w = s[list(range(n-k, n)) + list(range(n+1, n+k+1))]#取前5個，後5個的元素爲w， index是x
    w = w[w.notnull()]#拉格朗日插值中的w不能爲空！
    print(lagrange(w.index, list(w)))#直接輸出拉格朗日插值多項式
    print(lagrange(w.index, list(w)).c)#輸出拉格朗日多項式的參數
    return lagrange(w.index, list(w))(n)#輸出x爲n的時候，插入的推導值

for i in df.columns:
    for j in range(len(df)):
        if (df.iloc[:,i].isnull())[j]:#把爲空的值取出來（第i列中Nan爲True的，第j行）
            df[i][j] = lagrange_interpolate(df.iloc[:,i], j)#把插值賦給原DataFrame
print(df)

輸出獲得的df以下：

0           1           2
0   235.833300  324.034300  478.323100
1   236.270800  325.637900  515.456400
2   238.052100  328.089700  517.090900
3   235.906300  203.462116  514.890000
4   236.760400  268.832400  493.352591
5   237.151181  404.048000  486.091200
6   237.416700  391.265200  516.233000
7   238.656300  380.824100  493.342382
8   237.604200  388.023000  435.350800
9   238.031300  206.434900  487.675000
10  235.072900  237.348072  609.193564

輸出的lagrange(w.index, list(w))以下：
7 6 5 4 3 2
-0.2173 x + 6.261 x - 70.84 x + 396 x - 1125 x + 1484 x - 689.3 x + 324

上面的數字表明次數，MarkDown不太會排版哈哈哈

輸出的lagrange(w.index, list(w)).c以下：
[-2.17348599e-01 6.26122790e+00 -7.08415701e+01 3.96049765e+02 -1.12466918e+03 1.48430174e+03 -6.89281036e+02 3.24034300e+02]

對比上面的多項式，能夠知道這個數組的元素就是上面多項式的係數！

拉格朗日插值法仍是比較好理解的，改天再總結一下其餘的插值法的寫法。