拉格朗日插值學習小結

簡介

在數值分析中，拉格朗日插值法是以法國18世紀數學家約瑟夫·拉格朗日命名的一種多項式插值方法。若是對實踐中的某個物理量進行觀測，在若干個不一樣的地方獲得相應的觀測值，拉格朗日插值法能夠找到一個多項式，其剛好在各個觀測的點取到觀測到的值。上面這樣的多項式就稱爲拉格朗日（插值）多項式。

拉格朗日插值法

衆所周知，\(n + 1\)個\(x\)座標不一樣的點能夠肯定惟一的最高爲\(n\)次的多項式。在算法競賽中，咱們經常會碰到一類題目，題目中直接或間接的給出了\(n+1\)個點，讓咱們求由這些點構成的多項式在某一位置的取值

一個最顯然的思路就是直接高斯消元求出多項式的係數，可是這樣作複雜度巨大\((n^3)\)且根據算法實現不一樣每每會存在精度問題

而拉格朗日插值法能夠在\(n^2\)的複雜度內完美解決上述問題

假設該多項式爲\(f(x)\), 第\(i\)個點的座標爲\((x_i, y_i)\)，咱們須要找到該多項式在\(k\)點的取值

根據拉格朗日插值法

\[f(k) = \sum_{i = 0}^{n} y_i \prod_{i \not = j} \frac{k - x[j]}{x[i] - x[j]}\]

乍一看可能不是很好理解，咱們來舉個例子理解一下

假設給出的三個點爲\((1, 3)(2, 7)(3, 13)\)

直接把\(f(k)展開\)

\(f(k) = 3 \frac{(k - 2)(k - 3)}{(1 - 2)(1 - 3)} + 7\frac{(k-1)(k-2)}{(2 - 1)(2-3)} + 13\frac{(k-1)(k-2)}{(3 -1)(3-2)}\)

觀察不可貴到，若是咱們把\(x_i\)帶入的話，除第\(i\)項外的每一項的分子中都會有\(x_i - x_i\)，這樣其餘的全部項就都被消去了

所以拉格朗日插值法的正確性是能夠保證的

下面說一下拉格朗日插值法的拓展

在\(x\)取值連續時的作法

在絕大多數題目中咱們須要用到的\(x_i\)的取值都是連續的，這樣的話咱們能夠把上面的算法優化到\(O(n)\)複雜度

首先把\(x_i\)換成\(i\)，新的式子爲

\(f(k) = \sum_{i=0}^n y_i \prod_{i \not = j} \frac{k - j}{i - j}\)

考慮如何快速計算\(\prod_{i \not = j} \frac{k - j}{i - j}\)

對於分子來講，咱們維護出關於\(k\)的前綴積和後綴積，也就是

\[pre_i = \prod_{j = 0}^{i} k - j\]

\[suf_i = \prod_{j = i}^n k - j\]

對於分母來講，觀察發現這其實就是階乘的形式，咱們用\(fac[i]\)來表示\(i!\)

那麼式子就變成了

\[f(k) = \sum_{i=0}^n y_i \frac{pre_{i-1} * suf_{i+1}}{fac[i] * fac[N - i]}\]

注意:分母可能會出現符號問題，也就是說，當\(N - i\)爲奇數時，分母應該取負號

重心拉格朗日插值法

再來看一下前面的式子

\[f(k) = \sum_{i = 0}^{n} y_i \prod_{i \not = j} \frac{k - x[j]}{x[i] - x[j]}\]

設\(g = \prod_{i=1}^n k - x[i]\)

\[ f(k) = g\sum_{i = 0}^{n} \prod_{i \not = j} \frac{y_i}{(k - x[i])(x[i] - x[j])} \]

設\(t_i = \frac{y_i}{\prod_{j \not =i} x_i - x_j}\)

\[ f(k) = g\sum_{i = 0}^{n} \frac{t_i}{(k - x[i])} \]

這樣每次新加入一個點的時候只須要計算它的\(t_i\)便可

應用

經典應用

首先講一個經典應用：計算\(\sum_{i=1}^n i^k (n \leqslant 10^{15}, k \leqslant 10^6)\)

老祖宗告訴咱們，這個東西是個以\(n\)爲自變量的\(k + 1\)次多項式，具體證實能夠看第二份參考資料

而後直接帶入\(k+1\)個點後用拉格朗日插值算便可，複雜度\(O(k)\)

那具體在題目中怎麼使用拉格朗日插值呢？

首先你要證實求的東西是某個多項式，判斷的依據是：

大部分狀況下概括一下就能夠了

題目

由易到難排列

洛谷P4593 [TJOI2018]教科書般的褻瀆

BZOJ3453: tyvj 1858 XLkxc

BZOJ4559: [JLoi2016]成績比較

BZOJ2655: calc

參考資料

拉格朗日插值法

差分的應用及正整數的k次方冪求和

拉格朗日插值法及應用

拉格朗日插值 學習筆記