【每日算法】兩種二分基本思路（附二分目錄） ｜Python 主題月

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題目描述

這是 LeetCode 上的 275. H 指數 II ，難度爲 中等。

Tag : 「二分」

給定一位研究者論文被引用次數的數組（被引用次數是非負整數），數組已經按照 升序排列 。編寫一個方法，計算出研究者的 h 指數。

h 指數的定義: 「h 表明「高引用次數」（high citations），一名科研人員的 h 指數是指他（她）的 （N 篇論文中）總共有 h 篇論文分別被引用了至少 h 次。（其他的 N - h 篇論文每篇被引用次數很少於 h 次。）"

示例:

輸入: citations = [0,1,3,5,6]

輸出: 3 

解釋: 給定數組表示研究者總共有 5 篇論文，每篇論文相應的被引用了 0, 1, 3, 5, 6 次。
     因爲研究者有 3 篇論文每篇至少被引用了 3 次，其他兩篇論文每篇被引用很少於 3 次，因此她的 h 指數是 3。
複製代碼

說明:

若是 h 有多有種可能的值 ，h 指數是其中最大的那個。

 

進階：

• 這是 H 指數 的延伸題目，本題中的 citations 數組是保證有序的。
• 你能夠優化你的算法到對數時間複雜度嗎？

基本分析

本題與 274. H 指數 的主要不一樣有兩方面：

1. 數據範圍不一樣：切換成英文能夠發現，在 274. H 指數 裏 $n$ 的範圍爲 $5000$，而本題 $n$ 的範圍爲 $10^5$ ；
2. 給定數組是否有序：在 274. H 指數 中數組不必定有序，本題則是有序。

顯然，增長了數組有序特性，擴大了數據範圍。能夠猜到利用此特性，存在時間複雜度更低的算法實現。

二分答案（線性 check）

在 (題解) 274. H 指數 中，咱們使用了 $O(n\log{n})$ 的二分作法，算法的主要瓶頸在於 $O(n)$ 複雜度的 check。

固然對於 $10^5$ 的數據量，使用 $O(n\log{n})$ 複雜度沒有任何問題。

Java 代碼：

class Solution {
    public int hIndex(int[] cs) {
        int n = cs.length;
        int l = 0, r = n;
        while (l < r) {
            int mid = l + r + 1 >> 1;
            if (check(cs, mid)) l = mid;
            else r = mid - 1;
        }
        return r;
    }
    boolean check(int[] cs, int mid) {
        int ans = 0;
        for (int i : cs) if (i >= mid) ans++;
        return ans >= mid;
    }
}
複製代碼

Python 3 代碼：

class Solution:
    def hIndex(self, citations: List[int]) -> int:
        def check(cs, mid):
            return sum(i>=mid for i in cs) >= mid

        n = len(citations)
        l, r = 0, n
        while l < r:
            mid = l + r + 1 >> 1
            if check(citations, mid):
                l = mid
            else:
                r = mid - 1
        return r
複製代碼

• 時間複雜度：對 $[0, n]$ 作二分，複雜度爲 $O(\log{n})$；check 函數須要對數組進行線性遍歷，複雜度爲 $O(n)$。總體複雜度爲 $O(n\log{n})$
• 空間複雜度： $O(1)$

二分下標（根據與 $citations[i]$ 關係）

在解法一中，顯然咱們沒有利用本題的「數組有序」的特性。

根據對 H 指數 定義，若是 $citations$ 升序，在最大的符合條件的分割點 $x$ 的右邊（包含分割點），必然知足 $citations[i] >= x$，咱們應當對其進行計數，對於分割點的左邊，必然不知足 $citations[i] >= x$，無需進行計數。

所以，咱們能夠利用 分割點右邊書的個數與分割點 $citations[x]$ 的大小關係進行二分 。

假設存在真實分割點下標 $x$，其值大小爲 $citations[x]$，分割點右邊的數值個數爲 $n - x$，根據 H 指數 的定義，必然有 $citations[x] >= n - x$ 關係：

• 在分割點 $x$ 的右邊： $citations[i]$ 非嚴格單調遞增，而書的個數嚴格單調遞減，仍然知足 $citations[i] >= n - i$ 關係；
• 在分割點 $x$ 的左邊： $citations[i]$ 非嚴格單調遞減，書的個數嚴格單調遞增， $x$ 做爲真實分割點，所以必然不知足 $citations[i] >= n - i$ 關係。

利用此「二段性」進行二分便可，二分出下標後，再計算出書的個數。

Java 代碼：

class Solution {
    public int hIndex(int[] cs) {
        int n = cs.length;
        int l = 0, r = n - 1;
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1;
            if (cs[mid] >= n - mid) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        return cs[r] >= n - r ? n - r : 0;
    }
}
複製代碼

Python 3 代碼：

class Solution:
    def hIndex(self, citations: List[int]) -> int:
        n = len(citations)
        l, r = 0, n - 1
        while l < r:
            mid = l + r >> 1
            if citations[mid] >= n - mid:
                r = mid
            else:
                l = mid + 1
        return n - r if citations[r] >= n - r else 0
複製代碼

• 時間複雜度： $O(\log{n})$
• 空間複雜度： $O(1)$

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最後

這是咱們「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.275 篇，系列開始於 2021/01/01，截止於起始日 LeetCode 上共有 1916 道題目，部分是有鎖題，咱們將先把全部不帶鎖的題目刷完。

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