【每日算法】運用「二分」找最佳替換方案｜Python 主題月

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題目描述

這是 LeetCode 上的 1818. 絕對差值和 ，難度爲中等。git

Tag : 「二分」github

給你兩個正整數數組 nums1 和 nums2 ，數組的長度都是 n 。數組

數組 nums1 和 nums2 的絕對差值和定義爲全部 |nums1[i] - nums2[i]|（0 <= i < n）的總和（下標從 0 開始）。markdown

你能夠選用 nums1 中的任意一個元素來替換 nums1 中的至多一個元素，以最小化絕對差值和。app

在替換數組 nums1 中最多一個元素以後，返回最小絕對差值和。由於答案可能很大，因此須要對 $10^9 + 7$ 取餘後返回。oop

|x| 定義爲：post

若是 x >= 0 ，值爲 x ，或者
若是 x <= 0 ，值爲 -x

示例 1：ui

輸入：nums1 = [1,7,5], nums2 = [2,3,5]

輸出：3

解釋：有兩種可能的最優方案：
- 將第二個元素替換爲第一個元素：[1,7,5] => [1,1,5] ，或者
- 將第二個元素替換爲第三個元素：[1,7,5] => [1,5,5]
兩種方案的絕對差值和都是 |1-2| + (|1-3| 或者 |5-3|) + |5-5| = 3
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示例 2：spa

輸入：nums1 = [2,4,6,8,10], nums2 = [2,4,6,8,10]

輸出：0

解釋：nums1 和 nums2 相等，因此不用替換元素。絕對差值和爲 0
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示例 3：

輸入：nums1 = [1,10,4,4,2,7], nums2 = [9,3,5,1,7,4]

輸出：20

解釋：將第一個元素替換爲第二個元素：[1,10,4,4,2,7] => [10,10,4,4,2,7]
絕對差值和爲 |10-9| + |10-3| + |4-5| + |4-1| + |2-7| + |7-4| = 20
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提示：

n == nums1.length
n == nums2.length
1 <= n <= $10^5$
1 <= nums1[i], nums2[i] <= $10^5$

二分

這是一道二分陳題，具體作法以下：

咱們在進行處理前，先對 $nums1$ 進行拷貝並排序，獲得 $sorted$ 數組。

而後 在遍歷 $nums1$ 和 $nums2$ 計算總的差值 $sum$ 時，經過對 $sorted$ 進行二分查找，找到最合適替換 $nums[i]$ 的值。

具體的，當咱們處理到第 $i$ 位時，假設該位的原差值爲 $x = abs(nums1[i] - nums2[i])$ ，而後從 $sorted$ 數組中經過二分找到最接近 $nums2[i]$ 的值，計算一個新的差值 $nd$ （注意要檢查分割點與分割點的下一位），若是知足 $nd < x$ 說明存在一個替換方案使得差值變小，咱們使用變量 $max$ 記下來這個替換方案所帶來的變化，並不斷更新 $max$ 。

當整個數組被處理完， $max$ 存儲着最優方案對應的差值變化，此時 $sum - max$ 便是答案。

Java 代碼：

class Solution {
    int mod = (int)1e9+7;
    public int minAbsoluteSumDiff(int[] nums1, int[] nums2) {
        int n = nums1.length;
        int[] sorted = nums1.clone();
        Arrays.sort(sorted);
        long sum = 0, max = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int a = nums1[i], b = nums2[i];
            if (a == b) continue;
            int x = Math.abs(a - b);
            sum += x;
            int l = 0, r = n - 1;
            while (l < r) {
                int mid = l + r + 1 >> 1;
                if (sorted[mid] <= b) l = mid;
                else r = mid - 1;
            }
            int nd = Math.abs(sorted[r] - b);
            if (r + 1 < n) nd = Math.min(nd, Math.abs(sorted[r + 1] - b));
            if (nd < x) max = Math.max(max, x - nd);
        }
        return (int)((sum - max) % mod);
    }
}
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Python 3 代碼：

class Solution:
    mod = 10 ** 9 + 7
    def minAbsoluteSumDiff(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> int:
        n = len(nums1)
        sortedNums1 = sorted(nums1)
        totalSum = maxDiff = 0
        for i in range(n):
            a, b = nums1[i], nums2[i]
            if a == b:
                continue
            x = abs(a - b)
            totalSum += x
            l, r = 0, n - 1
            while l < r:
                mid = l + r + 1 >> 1
                if sortedNums1[mid] <= b:
                    l = mid
                else:
                    r = mid - 1
            nd = abs(sortedNums1[r] - b)
            if r < n - 1:
                nd = min(nd, abs(sortedNums1[r + 1] - b))
            if nd < x:
                maxDiff = max(maxDiff, x - nd)
        return (totalSum - maxDiff) % self.mod
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時間複雜度：對 sorted 進行拷貝並排序的複雜度爲 $O(n\log{n})$ ；遍歷處理數組時會一邊統計，一邊嘗試二分，找最合適的替換數值，複雜度爲 $O(n\log{n})$ 。總體複雜度爲 $O(n\log{n})$
空間複雜度：使用 sorted 數組須要 $O(n)$ 的空間複雜度，同時排序過程當中會使用 $O(\log{n})$ 的空間複雜度；總體複雜度爲 $O(n + \log{n})$

最後

這是咱們「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1818 篇，系列開始於 2021/01/01，截止於起始日 LeetCode 上共有 1916 道題目，部分是有鎖題，咱們將先把全部不帶鎖的題目刷完。

在這個系列文章裏面，除了講解解題思路之外，還會盡量給出最爲簡潔的代碼。若是涉及通解還會相應的代碼模板。

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