【每日算法】從「枚舉」到「排序 + 前綴和 + 二分 + 滑動窗口」｜Python 主題月

本文正在參加「Python主題月」，詳情查看 活動連接

題目描述

這是 LeetCode 上的 1838. 最高頻元素的頻數 ，難度爲 中等。

Tag : 「枚舉」、「哈希表」、「排序」、「前綴和」、「二分」、「滑動窗口」、「雙指針」

元素的頻數是該元素在一個數組中出現的次數。

給你一個整數數組 $nums$ 和一個整數 $k$ 。

在一步操做中，你能夠選擇 $nums$ 的一個下標，並將該下標對應元素的值增長 $1$ 。

執行最多 $k$ 次操做後，返回數組中最高頻元素的最大可能頻數。

示例 1：

輸入：nums = [1,2,4], k = 5

輸出：3

解釋：對第一個元素執行 3 次遞增操做，對第二個元素執 2 次遞增操做，此時 nums = [4,4,4] 。
4 是數組中最高頻元素，頻數是 3 。
複製代碼

示例 2：

輸入：nums = [1,4,8,13], k = 5

輸出：2

解釋：存在多種最優解決方案：
- 對第一個元素執行 3 次遞增操做，此時 nums = [4,4,8,13] 。4 是數組中最高頻元素，頻數是 2 。
- 對第二個元素執行 4 次遞增操做，此時 nums = [1,8,8,13] 。8 是數組中最高頻元素，頻數是 2 。
- 對第三個元素執行 5 次遞增操做，此時 nums = [1,4,13,13] 。13 是數組中最高頻元素，頻數是 2 。
複製代碼

示例 3：

輸入：nums = [3,9,6], k = 2

輸出：1
複製代碼

提示：

• 1 <= nums.length <= $10^5$
• 1 <= nums[i] <= $10^5$
• 1 <= k <= $10^5$

枚舉

一個樸素的作法是，先對原數組 $nums$ 進行排序，而後枚舉最終「頻數對應值」是哪一個。

利用每次操做只能對數進行加一，咱們能夠從「頻數對應值」開始往回檢查，從而得出在操做次數不超過 $k$ 的前提下，以某個值做爲「頻數對應值」最多可以湊成多少個。

算法總體複雜度爲 $O(n^2)$，Java 2021/07/19 可過。

Java 代碼：

class Solution {
    public int maxFrequency(int[] nums, int k) {
        int n = nums.length;
        Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
        for (int i : nums) map.put(i, map.getOrDefault(i, 0) + 1);
        List<Integer> list = new ArrayList<>(map.keySet());
        Collections.sort(list);
        int ans = 1;
        for (int i = 0; i < list.size(); i++) {
            int x = list.get(i), cnt = map.get(x);
            if (i > 0) {
                int p = k;
                for (int j = i - 1; j >= 0; j--) {
                    int y = list.get(j);
                    int diff = x - y;
                    if (p >= diff) {
                        int add = p / diff;
                        int min = Math.min(map.get(y), add);
                        p -= min * diff;
                        cnt += min;
                    } else {
                        break;
                    }
                }
            }
            ans = Math.max(ans, cnt);
        }
        return ans;
    }
}
複製代碼

Python 3 代碼：

class Solution:
    def maxFrequency(self, nums: List[int], k: int) -> int:
        n = len(nums)
        hashmap = defaultdict(int)
        for i in nums:
            hashmap[i] += 1
        ans = 1
        lt = sorted(hashmap.keys())
        for i in range(len(lt)):
            x = lt[i]
            cnt = hashmap[lt[i]]
            if i > 0:
                p = k
                for j in range(i - 1, -1, -1):
                    y = lt[j]
                    diff = x - y
                    if p >= diff:
                        add = p // diff
                        m = min(hashmap[y], add)
                        p -= m * diff
                        cnt += m
                    else:
                        break
            ans = max(ans, cnt)
        return ans
複製代碼

• 時間複雜度：獲得去重後的頻數後選集合複雜度爲 $O(n)$；最壞狀況下去重後仍有 $n$ 個頻數，且判斷 $k$ 次操做內某個頻數最多湊成多少複雜度爲 $O(n)$。總體複雜度爲 $O(n^2)$
• 空間複雜度： $O(n)$

排序 + 前綴和 + 二分 + 滑動窗口

先對原數組 $nums$ 進行從小到大排序，若是存在真實最優解 $len$，意味着至少存在一個大小爲 $len$ 的區間 $[l, r]$，使得在操做次數不超過 $k$ 的前提下，區間 $[l, r]$ 的任意值 $nums[i]$ 的值調整爲 $nums[r]$。

這引導咱們利用「數組有序」&「前綴和」快速判斷「某個區間 $[l, r]$ 是否能夠在 $k$ 次操做內將全部值變爲 $nums[r]$」：

具體的，咱們能夠二分答案 $len$ 做爲窗口長度，利用前綴和咱們能夠在 $O(1)$ 複雜度內計算任意區間的和，同時因爲每次操做只能對數進行加一，即窗口內的全部數最終變爲 $nums[r]$ ，最終目標區間和爲 $nums[r] * len$，經過比較目標區間和和真實區間和的差值，咱們能夠知道 $k$ 次操做是否能將當前區間變爲 $nums[r]$。

上述判斷某個值 $len$ 是否可行的 check 操做複雜度爲 $O(n)$，所以算法複雜度爲 $O(n\log{n})$。

Java 代碼：

class Solution {
    int[] nums, sum;
    int n, k;
    public int maxFrequency(int[] _nums, int _k) {
        nums = _nums;
        k = _k;
        n = nums.length;
        Arrays.sort(nums);
        sum = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + nums[i - 1];
        int l = 0, r = n;
        while (l < r) {
            int mid = l + r + 1 >> 1;
            if (check(mid)) l = mid;
            else r = mid - 1;
        }
        return r;
    }
    boolean check(int len) {
        for (int l = 0; l + len - 1 < n; l++) {
            int r = l + len - 1;
            int cur = sum[r + 1] - sum[l];
            int t = nums[r] * len;
            if (t - cur <= k) return true;
        }
        return false;
    }
}
複製代碼

Python 3 代碼：

class Solution:
    def maxFrequency(self, nums: List[int], k: int) -> int:
        def check(length):
            for i in range(n+1-length):
                j = i + length - 1
                cur = presum[j + 1] - presum[i]
                t = nums[j] * length
                if t - cur <= k:
                    return True
            return False

        n = len(nums)
        nums.sort()
        presum = [0] + list(accumulate(nums))
        l, r = 0, n
        while l < r:
            mid = l + r + 1 >> 1
            if check(mid):
                l = mid
            else:
                r = mid - 1
        return r
複製代碼

• 時間複雜度：排序的複雜度爲 $O(n\log{n})$；計算前綴和數組複雜度爲 $O(n)$；check 函數的複雜度爲 $O(n)$，所以二分複雜度爲 $O(n\log{n})$。總體複雜度爲 $O(n\log{n})$
• 空間複雜度： $O(n)$

最後

這是咱們「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1838 篇，系列開始於 2021/01/01，截止於起始日 LeetCode 上共有 1916 道題目，部分是有鎖題，咱們將先把全部不帶鎖的題目刷完。

在這個系列文章裏面，除了講解解題思路之外，還會盡量給出最爲簡潔的代碼。若是涉及通解還會相應的代碼模板。

爲了方便各位同窗可以電腦上進行調試和提交代碼，我創建了相關的倉庫：github.com/SharingSour… 。

在倉庫地址裏，你能夠看到系列文章的題解連接、系列文章的相應代碼、LeetCode 原題連接和其餘優選題解。