展轉相除法原理分析

一、展轉相除法求最大公約數

    int a, b, c;

    printf("請輸入兩個整數（逗號隔開）:");

    scanf("%d,%d", &a, &b);

    c = a%b;

    while (c != 0)

    {

        a = b;

        b = c;

        c = a%b;

    }

 

 

互質是公約數只有1的兩個整數，叫作互質整數（非負）。公約數只有1的兩個天然數，叫作互質天然數（即指非負整數。）後者是前者的特殊情形。

 

【公約數和公倍數都是針對整數而言的!!】

展轉相除法證實敘述：

a和b兩個正整數，若是a>b

a/b     .… …. 餘數爲R1

b/R1    .… …. 餘數爲R2

R1/R2   .… …. 餘數爲R3

R2/R3   ..… ….餘數爲R4

…. ….

R(n-2)/R(n-1)……餘數爲Rn

當Rn爲零的時候，R(n-1)必定是最大公約數。

 

展轉相除法證實須要證實知足兩個條件：

已知條件：a和b兩個正整數，若是a>b,且a/b=0,則a和b的最大公約數必定爲b。

第一個條件證實：

爲何Rn最後必定會等於0？

緣由1：

任意兩個數，能夠是同奇同偶/以奇一偶，展轉相除法，主要是除數和餘數的計算

同偶，在展轉相除過程當中，餘數必爲偶數。最終餘數會變爲2，從而任意一個數都/能夠被2整除

同奇，則展轉相除過程當中，餘數必爲偶數。最終餘數會變爲1，從而任意一個數均可以被1整除

一奇一偶，展轉過程當中，餘數必爲奇數，最終會變爲1 ，從而任意一個數均可以被1整除

緣由2：

由於餘數都要小於除數，

隨着展轉相除的進行，除數和餘數愈來愈小，

爲什麼展轉相除法到最後餘數必定爲0

而每一次的除數又分別等於上一次的餘數，因此，總有那麼一個時刻，餘數會等於0。

第二個條件證實：

爲何a/b和b/R1和R2/R3和R(n-2)/R(n-1)的最大公約數相等？

 

設兩數爲a、b(a>b)，用gcd(a,b)表示a，b的最大公約數，r=a (mod b) 爲a除以b的餘數，k爲a除以b的商，即a÷b=k.......r。展轉相除法便是要證實gcd(a,b)=gcd(b,r)。

第一步：令c=gcd(a,b)，則設a=mc，b=nc  //設c爲最大公約數，則m和n必定互質

第二步：根據前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c   //r也有公約數c，若是r=(m-kn)c和b=nc兩個表達式中，m-kn和n是互質，就能夠證實c也是r和b的最大公約數

第三步：假設m-kn與n非互質，而有一個公約數d，則有m-kn=xd，n=yd (d>1)，則有m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，從而有a=mc=(ky+x)cd，b=nc=ycd，此時就會出現a與b的一個公約數cd>c，以前咱們的定義中c是a與b的最大公約數，此時與前面的假設矛盾，因此m-kn與n必定互質!所以c也是b與r的最大公約數。

 

從而可知gcd(b,r)=c，繼而gcd(a,b)=gcd(b,r)。

證畢。

以上步驟的操做是創建在剛開始時r≠0的基礎之上的。即m與n亦互質。