【高等代數】01 - 行列式和矩陣的秩

　　高等代數究竟應該包含哪些內容？從名字上看它應當包含代數學中的全部高等內容。但通常來說，這裏的「高等」只是相對中學的「初等」而言的，它包含線性代數、多項式等內容。抽象代數這樣的「高級」分支比它更抽象，須要獨立分支去討論。前面咱們已經學習過線性代數，請先回顧一下該課程。首先要清楚，線性代數的三大內容：線性空間、線性變換、線性函數（向量的度量）。線性空間的概念以前已經闡述得比較完備了，這裏只強調一點：咱們說的向量是一種代數結構，而非特指座標向量，雖然經過映射能夠將它們等價起來。

　　以前的線性代數課程更偏重概念的闡述和結構的搭建，而忽略了一些具體的例子和方法。這裏我想先花一些篇幅，整理一下教材中常常出現的好的問題，以及一些有趣的結論。這些問題將以不一樣的課題進行組織，其中會穿插不一樣的知識點。它們不光在現實場景中有着普遍的應用，對這些典型問題的思考，也很是有助於理解基本概念。爲了保持概念的連續性，這裏仍是會重複提出已經熟知的概念，既是回顧也是擴展。

1. 行列式

　　線性空間的一個基本問題就是解線性方程組，這其中須要用到一個叫行列式的東西。不要忘記，行列式本質上是一個\(n\)重反對稱線性函數（設定單位矩陣的值爲1），這個定義比古怪的直接定義公式要清晰得多。

　　行列式是相對獨立的內容，計算時有不少技巧，這裏再蒐集一些常見的題型。除了定義以外，以前咱們還介紹了幾種經常使用方法，好比基本變換法、拉普拉斯定理（按行展開）、加邊法、待定係數法、遞推方程法、矩陣分解法等。這裏再具體看一些例子和方法，來豐富以前行列式的內容。還有更多特殊行列式的計算方法，會在相關的主題中繼續討論。

1.1 通常方法

　　首先計算時不能徹底忘記最原始的定義，就是全部表明元素的乘積之和。例如對於元素全爲\(\pm 1\)的行列式（階數\(n>1\)），因爲它的每一個乘項都是\(\pm 1\)，而項數爲偶數，故總和\(|A|\)一定是偶數。進一步地，經過初等變換能夠獲得式（1），其中\(b_{ij}\)只取\(0,\pm 2\)、\(c_{ij}\)只取\(0,\pm 1\)，從而能夠獲得：\(|A|\)必定是\(2^{n-1}\)的倍數。

\[|A|=\begin{vmatrix}\pm 1&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\0&b_{22}&\cdots&b_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&b_{n2}&\cdots &b_{nn}\end{vmatrix}=\pm 2^{n-1}\begin{vmatrix}c_{22}&\cdots&c_{2n}\\\vdots&\ddots &\vdots\\c_{n2}&\cdots&c_{nn}\end{vmatrix}\tag{1}\]

　　初等變換一直是行列式計算最重要的方法，而矩陣的分塊變換對複雜表達式的行列式更是提供了便捷的途徑。最簡單就數式（2）左的變換，它用最直觀的方法證實了\(|AB|=|A||B|\)。還有當\(A\)可逆時（\(B,C\)不必定是方陣），容易獲得式（3）。當\(A,B,C,D\)都是方陣、且\(AC=CA\)時，則式（3）的行列式纔等於\(|AD-CB|\)。但注意到最終表達式中並無\(A^{-1}\)，咱們須要討論\(A\)不可逆的狀況。

　　用\(A+tI,D+tI\)代替\(A,D\)，設獲得的行列式爲\(f(t)\)，它顯然是一個\(2n\)次多項式。在\(t\)足夠小的去心領域裏，\(A+tI\)一定是可逆的，故有\(f(t)=|(A+tI)(D+tI)-CB|\)，由連續性可知\(f(0)=|AD-CB|\)。也就是說對任意方陣\(A\)，都有式（4）成立，一樣若是有\(AB=BA\)，也能夠獲得行列式的值爲\(|DA-CB|\)。多項式的連續性在這裏發揮了關鍵做用，它對一些異常狀況的處理十分有效，立刻咱們還會碰到。

\[\begin{bmatrix}A&0\\I_n&B\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}0&-AB\\I_n&0\end{bmatrix}\;\Rightarrow\;|AB|=|A||B|\tag{2}\]

\[\begin{vmatrix}A&B\\C&D\end{vmatrix}=|A||D-CA^{-1}B|\tag{3}\]

\[AC=CA\;\Rightarrow\;\begin{vmatrix}A&B\\C&D\end{vmatrix}=|AD-CB|\tag{4}\]

　　還有，經過式（5）的兩種變換，能夠獲得重要的結論（6）。因此對於具備形式\(|I_n-AB|\)、且\(m\)很小的行列式，把它轉化爲\(|I_m-BA|\)會簡單得多，你能夠嘗試一下計算式（7）的行列式。

\[\begin{bmatrix}I_n&A\\0&I_m-BA\end{bmatrix}\leftarrow\begin{bmatrix}I_n&A\\B&I_m\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}I_n-AB&0\\B&I_m\end{bmatrix}\tag{5}\]

\[|I_m-BA|=|I_n-AB|\tag{6}\]

\[\begin{vmatrix}0&2a_1&3a_1&\cdots&na_1\\a_2&a_2&3a_2&\cdots&na_2\\a_3&2a_3&2a_3&\cdots&na_3\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_n&2a_n&3a_n&\cdots&(n-1)a_n\end{vmatrix}\tag{7}\]

1.2 其它方法

　　遞推法是計算行列式的經常使用方法，好比式（8）左的三對角型\(D_n\)。咱們不可貴到它的遞推式\(D_n=aD_{n-1}-bcD_{n-2}\)，且有初始值\(D_1=a,D_2=a^2-bc\)。利用遞推式的母函數法，並令\(x,y\)是\(x+y=a,xy=bc\)的兩個根，很容易地就求得了式（8）右的結果。

\[D_n=\begin{vmatrix}a&b&&\\c&\ddots&\ddots&\\&\ddots&\ddots&b\\&&c&a\end{vmatrix}=\dfrac{x^{n+1}-y^{n+1}}{x-y}\tag{8}\]

　　矩陣分解法的表明是如式（9）左的循環矩陣\(C_n\)，爲了在循環中找到不變性，能夠用另外一個循環來進行固定。具體作法能夠是考察列向量\([1,\omega,\cdots,\omega^{n-1}]'\)，其中\(\omega\)是\(\omega^n=1\)的任意根，它與\(C_n\)第\(i\)行的內積是\(\omega^{i-1}\sum\limits_{j=1}^n\omega^{j-1}a_j\)，其中的公共項\(\sum\limits_{j=1}^n\omega^{j-1}a_j\)能夠提取出來。如今取\(\omega\)爲單位根，並記\(W\)爲式（9）右，這樣就能獲得等式（10），從而有\(|C_n|=\prod\limits_{i=0}^{n-1}\sum\limits_{j=1}^n\omega^{i(j-1)}a_j\)。這個方法有明顯拼湊的跡象，後面咱們會用更加深入的結論再次計算一遍。

\[C_n=\begin{bmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_n\\a_n&a_1&\cdots&a_{n-1}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_2&a_3&\cdots&a_1\end{bmatrix};\;W=\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&\omega&\cdots&\omega^{n-1}\\1&\vdots&\ddots&\vdots\\1&\omega^{n-1}&\cdots&\omega^{(n-1)^2}\end{bmatrix}\tag{9}\]

\[C_n\cdot W=\prod_{i=0}^{n-1}\sum_{j=1}^n(\omega^{i(j-1)}a_j)\cdot W\tag{10}\]

　　我還看到過行列式的一個有趣應用，就是利用行列式的初等變換來進行因式分解。好比很容易知道式（11）左能夠寫成式中的行列式，簡單的初等變換就能獲得因子\(x+y+z\)。固然這種方法的弊端就是要先找到合適的行列式，在有些場合下也許是比較容易的。

\[x^3+y^3+z^3-3xyz=\begin{vmatrix}x&y&z\\z&x&y\\y&z&x\end{vmatrix}=(x+y+z)\begin{vmatrix}1&y&z\\1&x&y\\1&z&x\end{vmatrix}\tag{11}\]

2. 矩陣的秩

2.1 通常方法

　　解線性方程組衍生出的另外一個問題就是矩陣和它的秩，但這裏矩陣的做用也僅僅是一種記法，能夠討論的也只有行向量和列向量。這裏最重要的結論固然就是：矩陣的行秩和列秩相同，它們統稱爲矩陣的秩。如今設矩陣\(A\)的秩爲\(r\)，則能夠找到它的極大無關行向量組\(\{\alpha_1,\cdots,\alpha_r\}\)和極大無關列向量組\(\{\beta_1,\cdots,\beta_r\}\)，如今來考慮由它們的交點組成的子矩陣\(B\)。首先因爲\(\{\alpha_1,\cdots,\alpha_r\}\)組成的子矩陣\(C\)的秩爲\(r\)，故\(C\)的列向量的秩也是\(r\)。另外因爲\(\{\beta_1,\cdots,\beta_r\}\)能夠線性表示其它列，故\(B\)的列向量能夠線性表示\(C\)的其它列，這就是說\(B\)的列向量是\(C\)的列向量的極大線性無關組，從而\(B\)的秩也是\(r\)。這個結論仍是比較有用的，好比由於奇數階反對稱矩陣的行列式爲\(0\)（各行提取\(-1\)），可知反對稱矩陣的秩只能爲偶數（反對稱矩陣的標準型可直接獲得該結論）。

　　線性相關性是秩的根本意義，這個簡單的認知倒是不少結論的關鍵，由此獲得的式（12）（13）之後會常常用到。另外假設\(A_{m\times n}\)秩爲\(r\)，則能夠選出列向量的極大無關組\(\{\alpha_1,\cdots,\alpha_r\}\)，組成矩陣\(B\)。這時\(A\)的每一列能夠線性表示爲\(c_{1j}\alpha_1+\cdots+c_{rj}\alpha_r\)，則矩陣\(C=\{c_{ij}\}\)知足\(A=BC\)。由式（13）可知\(C\)的秩也爲\(r\)。總結就是任何秩爲\(r\)的矩陣\(A_{m\times n}\)都能分解爲兩個滿秩矩陣\(B_{m\times r},C_{r\times n}\)的乘積。

\[\text{rank}(A+B)\leqslant\text{rank}(A)+\text{rank}(B)\tag{12}\]

\[\text{rank}(AB)\leqslant\min\{\text{rank}(A),\text{rank}(B)\}\tag{13}\]

　　• 求證：\(\text{rank}(I-AB)\leqslant\text{rank}(I-A)+\text{rank}(I-B)\)。

　　和行列式同樣，初等變換是判斷矩陣秩的基本方法，其中分塊初等變換一樣能帶來驚喜的結論。好比由（2）的變換，容易獲得式（14）的Sylvester秩不等式。相似地由變換\(\begin{bmatrix}B&0\\0&ABC\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}B&AB\\BC&0\end{bmatrix}\)，也容易證實式（15）的Frobenius秩不等式。

\[\text{rank}(AB)\geqslant\text{rank}(A)+\text{rank}(B)-n\tag{14}\]

\[\text{rank}(ABC)\geqslant\text{rank}(AB)+\text{rank}(BC)-\text{rank}(B)\tag{15}\]

2.2 其它方法

　　咱們知道，矩陣的乘法其實就是多組線性表示，也許乘法的秩和線性方程組能創建起聯繫。首先把\(AB\)的列向量當作是\(A\)的列向量的線性表示\(\sum\limits_i b_{ij}\alpha_i\)，若是\(\text{rank}(AB)=\text{rank}(A)\)，則\(AB,A\)的列向量組是等價的（考慮生成線性空間），從而矩陣方程\(ABX=A\)有解（式（16））。再來把\(AB\)的行向量當作是\(B\)的行向量的線性表示\(\sum\limits_j a_{ij}\beta_j\)，若是\(\text{rank}(AB)=\text{rank}(B)\)，則\(AB,B\)的行向量組是等價的，從而線性方程\(ABX=0,BX=0\)同解（式（17））。

\[\text{rank}(AB)=\text{rank}(A)\;\Leftrightarrow\;\exists X(ABX=A)\tag{16}\]

\[\text{rank}(AB)=\text{rank}(B)\;\Leftrightarrow\;\forall X(ABX=0\Leftrightarrow BX=0)\tag{17}\]

　　等價的方程組形式並非什麼特殊的結論，但對於描述論證更加方便。好比若是\(AB,B\)的秩相同，則\(ABX=0,BX=0\)同解，則顯然\(ABCX=0,BCX=0\)也同解，故\(ABC,BC\)的秩也相同。用相關性也能證得一樣的結論，但描述略顯繁瑣。式（18）的結論是很是有用的，好比考察矩陣列\(A,A^2,A^3,\cdots\)，它們的秩是不升的，故必然存在\(\text{rank}(A^{k+1})=\text{rank}(A^{k})\)。根據式（18）便知，存在\(k\)，使得\(m\geqslant k\)時恆有\(\text{rank}(A^m)=\text{rank}(A^k)\)（這個與線性變換中的結論一致）。

\[\text{rank}(AB)=\text{rank}(B)\;\Leftrightarrow\;\text{rank}(ABC)=\text{rank}(BC)\tag{18}\]

　　利用線性方程討論矩陣的秩，還有一個很是特殊的例子。先看實係數方程\(A'AX=0\)和\(AX=0\)，後者的解空間顯然包含前者，但由\(0=X'A'AX=|AX|^2\)也能獲得\(AX=0\)。故它們是同解的，從而有式（19）成立。一樣在複數域，也容易有式（20）成立，它們都是很是重要的結論。

\[A\in\mathbb{R}_n\;\Rightarrow\;\text{rank}(A'A)=\text{rank}(AA')=\text{rank}(A)\tag{19}\]

\[A\in\mathbb{C}_n\;\Rightarrow\;\text{rank}(\bar{A}'A)=\text{rank}(A\bar{A}')=\text{rank}(A)\tag{20}\]

　　最後來考察對角佔優矩陣\(A\)（\(|a_{ii}|>\sum\limits_{j\ne i}a_{ij}\)），能夠用反證法證實它是滿秩的（\(|A|\ne 0\)）。不然列向量是線性相關的，即有\(k_1\alpha_1+\cdots+k_n\alpha_n=0\)，其中\(k_i\)不全爲\(0\)。設\(|k_i|\)是最大的係數，則容易在第\(i\)行導出矛盾。更特別地，若是\(a_{ii}>\sum\limits_{j\ne i}a_{ij}\)，還能夠證實\(|A|>0\)。這時考察以下矩陣\(B(t)\)，因爲\(|B(t)|\)是一個多項式，它必然是連續函數。而已知\(|B(0)|>0\)，且在\(t\in[0,1]\)上恆有\(|B(t)|\ne 0\)，從而必然有\(|A|=|B(1)|>0\)。多項式的連續性在這裏再次發揮威力。

\[B(t)=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}t&\cdots&a_{1n}t\\a_{21}t&a_{22}&\cdots&a_{2n}t\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}t&a_{n2}t&\cdots&a_{nn}\end{bmatrix}\tag{21}\]

 

　　本系列目錄

　　　　01 - 行列式和矩陣的秩

　　　　02 - 矩陣的逆和類似矩陣

　　　　03 - 二次型和矩陣的分解

　　　　04 - 多項式環

　　　　未完待續

　　博客總目錄在這裏

 

---

【前序學科】 線性代數，微積分，抽象代數

【參考資料】

[1] 《高等代數（上、下）》，丘維聲，2010

　　這部上下分冊的高等代數可謂國內最經典的教材之一，上冊基本涵蓋了線性代數的內容，下冊則引入了更多抽象和理論的東西。通篇題材普遍，例題和習題都十分豐富和具備啓發性。