【高等代數】02 - 矩陣的逆和類似矩陣

　　矩陣本質的意義在於線性變換，能夠說離開線性變換，矩陣是毫無用處的。而線性變換的基本運算就是加法和乘法，其中對矩陣乘法的研究一直是線性代數中的核心內容。其中包括矩陣的冪次方、矩陣的逆、矩陣的分解，並且它們是互相滲透的。雖說研究矩陣乘法的目的是線性變換，但乘法自己的性質能夠脫離線性變換而討論，咱們將再花兩篇的空間來展開闡述。

1. 矩陣的逆

1.1 矩陣的計算

　　通常矩陣的乘法是不可交換的（\(AB\ne BA\)），但在一些特殊狀況能夠知足交換律，適當地使用交換性將獲得不少漂亮的結論。一個典型的表明就是同一個矩陣的冪次\(A^k\)之間是可交換的，這使得對任何多項式\(f(x)\)，\(f(A)\)能夠自由使用。這包含兩層意思，一個是無論\(f(x)\)寫成什麼樣的因式形式，\(f(A)\)都是相同的；另外一個意思是對任何多項式都有\(f(A)g(A)=g(A)f(A)\)，這使得一些複雜表達式的處理更加自由。

 　　另外，證實矩陣可逆和求矩陣的逆，通常使用定義（行列式非零和代數餘子式）以及初等變換法。對於一些特殊矩陣，其實能夠直接拼湊出\(AB=I\)的形式，這樣就獲得\(A^{-1}=B\)。在本篇特殊矩陣部分，咱們還會碰到這樣的例子，這裏先舉一些普通的例子。好比已知\(A+B=AB\)，則有\(A(B-I)=B\)，兩邊減去\(I\)整理得\((I-A)(I-B)=I\)，從而\(I-A,I-B\)互爲逆矩陣。隨之還能獲得\((I-B)(I-A)=I\)，展開後有\(A+B=BA\)，從而還能獲得\(AB=BA\)。

　　另外前面已經證實\(|I_m-AB|=|I_n-BA|\)，那麼若是已經知道\(C=(I_m-AB)^{-1}\)，如何來求\((I_n-BA)^{-1}\)呢？基本思路其實就是拼湊，首先因爲\((I_m-AB)C=I\)，爲了湊出\(BA\)，如今兩邊同時乘上\(B\)，整理後獲得\(B=(I_n-BA)BC\)。兩邊同時乘上\(A\)並用\(I_n\)來減，整理後獲得\((I_n-BA)(I_n+BCA)=I_n\)，因此有式（1）成立。

\[(I_n-BA)^{-1}=I_n+B(I_m-AB)^{-1}A\tag{1}\]

1.2 廣義逆矩陣

　　之前咱們簡單介紹過廣義逆矩陣，這裏再稍微細緻地討論一下。在通常矩陣方程\(AX=B\)中，若是\(A\)可逆，則\(X\)徹底肯定且能夠簡單地表示出來\(A^{-1}B\)。但\(A\)不可逆時，如今卻沒有較好的工具描述\(AX=B\)有解的充要條件，並給出解的通常形式。這時咱們但願能有相似\(A\)的逆的概念，或者說矩陣的逆進行擴展，下面從方程\(AX=\beta\)的解中尋找廣義逆的形式特色。

　　若是\(A\)的秩爲\(r\)，則存在可逆矩陣\(P,Q\)使得\(A=P\begin{bmatrix}I_r&0\\0&0\end{bmatrix}Q\)，帶入方程能夠獲得\(\begin{bmatrix}I_r&0\\0&0\end{bmatrix}QX=P^{-1}\beta\)。把\(P^{-1}\beta\)分塊寫成\([Y_r, Z]'\)，方程有解的必要條件是\(Y_r\ne 0, Z=0\)，且這時方程等價於\(QX=[Y_r, W]’\)，其中\(W\)任意。不難看出，\([Y_r,W]'\)其實能夠表示爲\(\begin{bmatrix}I_r&B\\C&D\end{bmatrix}\begin{bmatrix}Y_r\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}I_r&B\\C&D\end{bmatrix}P^{-1}\beta\)，其中\(B,D\)任意，而\(CY_r\)要能取遍全部\(W\)。由\(Y_r\ne 0\)可知\(C\)能夠任意取，這就獲得了式（2）方程的通解，其中\(B,C,D\)任意。

\[AX=\beta\;\Rightarrow\;X=Q^{-1}\begin{bmatrix}I_r&B\\C&D\end{bmatrix}P^{-1}\beta\tag{2}\]

　　能夠看出把式（3）作爲\(A\)的「逆矩陣」是合理的，它被稱爲\(A\)的廣義逆矩陣，記做\(A^-\)。\(A^-\)雖然沒有通常逆矩陣的全部性質，但也有個別性質和逆矩陣很像，好比這裏的方程解。再好比有等式\(AA^-A=A\)，其實若是有\(ABA=A\)，利用\(A=P\begin{bmatrix}I_r&0\\0&0\end{bmatrix}Q\)，不難推到\(B=A^-\)，故\(A^-\)有式（4）的等價定義。

\[A=P\begin{bmatrix}I_r&0\\0&0\end{bmatrix}Q\;\Rightarrow\;A^-=Q^{-1}\begin{bmatrix}I_r&B\\C&D\end{bmatrix}P^{-1}\tag{3}\]

\[B=A^-\;\Leftrightarrow\;ABA=A\tag{4}\]

　　如今咱們回到方程，還有一個問題沒有解決，就是隻用\(A,\beta\)來描述方程有解的充要條件。首先方程有解時，\(\beta=AX=AA^-\beta\)，反之當\(AA^-\beta=\beta\)時，方程顯然有解\(A^-\beta\)。故方程\(AX=\beta\)有解的充要條件是\(AA^-\beta=\beta\)。以上通解形式只是理論結果，在使用過程當中很不方便，咱們須要尋找別的表示方法。當獲得一個特解\(A^-\beta\)後（\(A^-\)取一特定值），只需求解其次方程\(AX=0\)。首先不難構造出解\((I-A^-A)W\)，其次對於如何解都有\((I-A^-A)X=X\)，從而\((I-A^-A)W\)是\(AX=0\)的通解，最終便有了\(AX=\beta\)的通解式（5），其中\(W\)爲任意\(n\)維向量。

\[AX=\beta\;\Rightarrow\;X=A^-\beta+(I_n-A^-A)W\tag{5}\]

　　廣義逆矩陣能夠運用在更多的矩陣方程中，構造法每每是求得通解的方法，教材上有具體的例子。如今來看一個判斷廣義逆的秩方法，使用的是式（6）的秩關係式，先用Sylvester秩不等式獲得\(\geqslant\)，再由變換\(\begin{bmatrix}A&0\\0&I-BA\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}A-ABA&0\\BA&I\end{bmatrix}\)能夠獲得\(\leqslant\)。\(B=A^-\)等價於\(A=ABA\)，而由式（6）就知道這等價於式（7）右，它即是咱們要說的秩判別法。

\[\text{rank}(A-ABA)=\text{rank}(A)+\text{rank}(I-BA)-n\tag{6}\]

\[B=A^-\;\Leftrightarrow\;\text{rank}(A)+\text{rank}(I-BA)=n\tag{7}\]

1.3 Moose-Penrose廣義逆

　　廣義逆矩陣可能不惟一，並且也沒有不少簡單的性質，甚至連基本的對稱性都不知足。那麼在衆多廣義逆矩陣裏，有沒有更加獨特的哪個呢？既然有\(AXA=A\)，至少還應該有\(XAX=X\)吧，乘積\(A^-A,AA^-\)雖然不是單位矩陣，但至少是對稱的吧。知足式（8）右的矩陣便稱爲Moose-Penrose廣義逆，記做\(A^+\)。先來看\(A^+\)是否存在，當\(A=0\)時，容易知道有惟一解\(A^+=0\)。當\(A\ne 0\)時，設\(A=BC\)，其中\(B,C\)分別列、行滿秩。能夠驗證式（9）右知足條件，而且討論式（10）還能論證惟一性。

\[B=A^+\;\Leftrightarrow\;ABA=A, BAB=B,(\overline{BA})'=BA, (\overline{AB})'=AB\tag{8}\]

\[A=BC\;\;\Rightarrow\;\;A^+=C^R(CC^R)^{-1}(C^RB)^{-1}B^R, \;(X^R=\bar{X}')\tag{9}\]

\[X_1=X_1AX_1=X_1(AX_2)(AX_1)=X_1(AX_1AX_2)^R=X_1X_2^RA^R=X_1AX_2\tag{10}\]

　　天然由對稱性可知\((A^+)^+=A\)，但卻不能如願地獲得\((AB)^+=B^+A^+\)。還須要添加一些條件，好比令\(A,B\)分別爲列、行滿秩矩陣，則有\(A=AI,B=IB\)。由式（9）知\(A^+=(A^RA)^{-1}A^R,B^+=B^R(BB^R)^{-1}\)，而後就容易驗證獲得式（11）。

\[\text{rank}(A_{m\times n})=n,\,\text{rank}(B_{n\times m})=n\;\Rightarrow\;(AB)^+=B^+A^+\tag{11}\]

2. 線性變換

2.1 類似變換

　　咱們知道，一個線性變換等價於一類矩陣，這類矩陣稱爲類似的，而且它們之間有類似變換\(B=P^{-1}AP\)。爲了找到線性變換的根本特性，就須要找到這類矩陣的類似不變量，用盡可能少而簡單的特徵來區分和刻畫不一樣的線性變換。這個問題在復空間上獲得完滿解決，Jordan標準型給出了獨一無二的刻畫方法。在其它數域上，標準型常常沒法給出，咱們轉而研究可對角化的線性變換，它們有着更加實用的形式。

　　類似變換的不變量有不少，其中有個不顯眼但卻頗有趣的量，就是矩陣對角線之和\(\text{tr}(A)\)，它也稱爲方陣的跡。跡有個很重要的結論，就是式（12）左的交換乘積順序不變性，並由此能輕鬆推到式（12）右的類似不變性。這個特色在有些場合有助於判斷矩陣的性質，好比若是\(AB-BA=A\)，則能夠判斷\(A\)不可逆，不然就有\(ABA^{-1}-B=I\)，而兩邊的跡顯然不相等。

\[\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)\;\Rightarrow\;\text{tr}(P^{-1}AP)=\text{tr}(A)\tag{12}\]

2.2 特徵值和特徵多項式

　　固然，類似變換的最重要的不變量仍是特徵值（或特徵多項式），它們也是矩陣對角化的主角，特徵多項式是指行列式\(|\lambda I-A|\)。利用行列式的性質，能夠將它按行（或列）拆成\(2^n\)個行列式之和，其中每一個行列式的第\(i\)行取自\(\lambda I\)或\(-A\)。從而每一個行列式都是單項式\(a\lambda^k\)，其中\(k\)等同於行列式取自\(\lambda I\)的行的個數，\(a\)則是\(-A\)剩下的主子式。這就是說特徵多項式的\(\lambda^k\)係數就是\(-A\)全部\(n-k\)階主子式之和，特別地，\(\lambda^{n-1}\)的係數是\(-\text{tr}(A)\)，常數項則是\((-1)^{n}|A|\)。

　　因爲方陣是否可逆等價於\(|A|\)是否爲\(0\)，這就說明了方陣可逆的充要條件是它沒有特徵值\(0\)。而對可逆矩陣，由\(A\alpha=\lambda\alpha\)可知\(\lambda^{-1}\alpha=A^{-1}\alpha\)，從而可逆矩陣與它的逆有相同的特徵向量，且對應的特徵值爲其倒數。還有一個淺顯的結論是，若是\(\lambda\)是\(A\)的特徵值，則顯然\(\lambda^k\)是\(A^k\)的特徵值，而\(f(\lambda)\)是\(f(A)\)的特徵值。

　　反過來還能夠證實，\(f(\lambda)\)即是\(f(A)\)的全部特徵值。爲此先設\(A\)的\(n\)個特徵值爲\(\lambda_i\)（包括重根），再設任意\(m\)次首\(1\)多項式\(g(x)\)的\(m\)個根爲\(\mu_j\)（包括重根），不可貴到式（13）的推導。從而直接有\(|\lambda I-f(A)|=\prod(\lambda-f(\lambda_i))\)，因此\(f(A)\)的全部特徵值就是\(f(\lambda_i)\)，結論得證。

\[|g(A)|=\prod_{j=1}^m|A-\mu_jI|=\prod_{j=1}^m\prod_{i=1}^n(\lambda_i-\mu_j) =\prod_{i=1}^ng(\lambda_i)\tag{13}\]

　　固然也不是全部特徵值都是要解特徵多項式，對於一些特殊矩陣，充分利用它的特色，也能夠很快計算出特徵值，這裏僅舉兩例。正交矩陣是指知足\(A'A=I\)的方陣，從而有\(A^{-1}=A'\)以及\(AA'=I\)，也就是說它的每行（列）的範數爲\(1\)且互相正交。假設\(A\alpha=\lambda\alpha\)，考察\(C=(A\alpha)'A\alpha\)，首先有\(C=\alpha'A'A\alpha=|\alpha|^2\)，還能夠有\((\lambda\alpha)'(\lambda\alpha)=\lambda^2|\alpha|^2\)，從而獲得\(\lambda=\pm 1\)。另外容易有\(|A|=\pm 1\)，而全部特徵值的積爲\(|A|\)，故當\(|A|=-1\)時它必有特徵值\(-1\)，當\(|A|=1\)且階爲奇數時必有特徵值\(1\)。

　　再來看一下\(AB,BA\)特徵值的關係，由等式\(|I_m-AB|=|I_n-BA|\)不難推導出式（14）。這就是說\(AB,BA\)徹底相同的特徵值和重數（\(0\)除外），且\(0\)特徵值的重數相差\(|m-n|\)，當\(A,B\)爲方陣時它們有相同的特徵值和重數。另外若是\(\alpha\)是\(AB\)的特徵向量，則有\(AB\alpha=\lambda\alpha\)，兩邊乘上\(B\)有\(BA(B\alpha)=\lambda(B\alpha)\)，從而\(B\alpha\)是\(BA\)同一特徵值下的特徵向量。

\[\lambda^n|\lambda I_m-AB|=\lambda^m|\lambda I_n-BA|\tag{14}\]

　　最後咱們來一個簡單的特徵值的估算方法，先假設\(A\alpha=\lambda\alpha\)，其中\(\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)'\)。假設\(\{|a_i|\}\)的最大值爲\(|a_k|\)，則考察\(A\alpha=\lambda\alpha\)的第\(k\)個元素，整理後不難有估計式（15）。對於\(A\)的每一行（列），式（15）的取值範圍也被稱爲Gersgorin圓盤，從而任何特徵值必定在某個圓盤中。有時把\(A\)的復特徵值集合稱爲\(A\)的譜，而特徵值模的最大值稱爲\(A\)譜半徑\(S_r(A)\)，利用公式（15）容易獲得式（16）。

\[|\lambda-a_{kk}|\leqslant\sum_{j\ne k}|a_{kj}|\tag{15}\]

\[S_r(A)\leqslant\max\sum_j|a_{ij}|;\;\;S_r(A)\leqslant\max\sum_i|a_{ij}|\tag{16}\]

2.3 對角化和實對稱矩陣

　　再來回到類似對角化上來，咱們知道矩陣可類似對角化的充要條件是：全部特徵向量空間的秩和爲\(n\)。這個判斷方法使用起來比較麻煩，卻是不少充分條件判斷起來更容易且更實用，好比特徵值互不相同，再好比實對稱矩陣等。可對角化的矩陣對於計算很是有利，尤爲是計算矩陣的冪\(A^m\)，能夠直接獲得結果\(P^{-1}D^mP\)。

　　• 求證：（1）若是\(A\sim B\)，則\(A^*\sim B^*\)；（2）若是\(A\)可對角化，則\(A^*\)也能夠對角化，並求對角元。

　　實對稱矩陣是很常見的一種矩陣，它在線性代數中也佔據了十分重要的地位，它的最大特色就是能夠正交對角化（如下來證實）。設\(\lambda,\alpha\)是實對稱矩陣\(A\)的特徵值、特徵向量，則易知\(\bar{\lambda},\bar{\alpha}\)也是\(A\)的特徵值、特徵向量。因爲\(A=A'\)，從兩個角度考察\(\alpha'A\bar{\alpha}\)，分別獲得\(\lambda|\alpha|^2,\bar{\lambda}|\alpha|^2\)，從而獲得\(\lambda=\bar{\lambda}\)，獲得\(\lambda\)是實數。從而實對稱矩陣的（復）特徵值、特徵向量都是實數，任何實對稱矩陣都至少有一個特徵值\(\lambda\)和特徵向量\(\alpha\)。

　　• 求證：反對稱實矩陣的特徵值爲純虛數。

　　將特徵向量\(\alpha\)擴展爲一組正交基並組成正交矩陣\(T_0\)，不難證實\(T^{-1}_0AT_0\)具備形式\(\begin{bmatrix}\lambda&0\\0&B\end{bmatrix}\)，且\(B\)仍是實對稱矩陣。利用概括法容易證實，存在正交矩陣\(T\)使得\(A=T^{-1}DT\)，其中\(D=\text{diag}\{\lambda_i\}\)。這就是說，實對稱矩陣（正交）類似於對角矩陣，且不難證實全部特徵值是實對稱矩陣的徹底不變量。結論在另外一方面還說明，實對稱矩陣不一樣特徵值的特徵向量相互正交。這個結論其實也能夠直接證實。好比從兩個角度考察\(\alpha'_1A\alpha_2\)，分別獲得\(\lambda_1(\alpha_1,\alpha_2),\lambda_2(\alpha_1,\alpha_2)\)，從而\(\lambda_1\ne\lambda_2\)時必然有\((\alpha_1,\alpha_2)=0\)。

　　實對稱矩陣的正交可對角化是個很是重要的結論，後面的二次型中還會討論到，這裏先舉個典型的例子。一樣設\(A=T^{-1}DT\)，考察\(\alpha'A\alpha\)，並記\(T\alpha=[b_1,\cdots,b_n]'\)，則容易有式（17）的推導（其中\(\lambda_1,\lambda_n\)分別是\(A\)的最小和最大特徵值）。這樣就獲得了式（18）左的估計式，特別地取\(\alpha\)爲第\(i\)位爲\(1\)、其它位爲\(0\)的向量，還能獲得式（18）右的估計式。

\[\alpha'A\alpha=\sum_{i=1}^n\lambda_ib_i^2\in[\lambda_1|T\alpha|^2,\lambda_n|T\alpha|^2]=[\lambda_1,\lambda_n]|\alpha|^2\tag{17}\]

\[\lambda_1\leqslant\dfrac{\alpha'A\alpha}{|\alpha|^2}\leqslant\lambda_n;\;\;\;\lambda_1\leqslant a_{ii}\leqslant\lambda_n\tag{18}\]

　　最後來看一個有趣的應用，Fibonacci數列你們都不陌生，它的遞推式爲\(a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\)。若是記\(\alpha_n=[a_{n+1}, a_n]'\)，則遞推式能夠寫成\(\alpha_{n+1}=A\alpha_n\)，其中\(A=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}\)。求得\(A\)的特徵值後即可以有對角化分解\(A=P^{-1}DP\)，其中\(P=\begin{bmatrix}\lambda_1&\lambda_2\\1&1\end{bmatrix},D=\begin{bmatrix}\lambda_1&\\&\lambda_2\end{bmatrix}\)。另外由遞推式可知\(\alpha_n=A^n\alpha_0\)，這樣就能獲得\(a_n\)的通項公式。

3. 特殊矩陣

　　具備特殊形式或性質的矩陣，在矩陣運算中和分析中具備很重要的做用。固然特殊矩陣的概念很寬泛，包括可逆矩陣、三角矩陣、對角矩陣、對稱矩陣、正交矩陣等均可以稱爲特殊矩陣。這裏先列舉幾個與本篇內容相關的特殊矩陣，一是爲了綜合運用上面的知識，二是這些矩陣的確有本身的獨特性質。下一篇中的矩陣分解中，咱們將繼續討論特殊矩陣的特色和應用。

3.1 冪零矩陣

　　若是存在正整數\(k\)使得\(A^k=0\)，這樣的方陣\(A\)稱爲冪零矩陣，它的典型表明就是式（19）左的對角線爲\(0\)的上三角矩陣\(A\)，\(A^i\)只有右上角的\(n-i\)條次對角線非零，而且\(A^n=0\)。其中更特殊的就是式（19）右的矩陣，它只有上次對角線全爲\(1\)的（其它爲\(0\)），易知\(A^i\)只有第\(i\)條上次對角線全爲\(1\)（其它爲\(0\)）。

\[\begin{bmatrix}0&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\&\ddots&\ddots&\vdots\\&&\ddots&a_{(n-1)n}\\&&&0\end{bmatrix};\;\;\begin{bmatrix}0&1&&\\&\ddots&\ddots&\\&&\ddots&1\\&&&0\end{bmatrix}\tag{19}\]

　　利用式（20）咱們就容易知道，\(I-aA\)和\(\sum\limits_{i=1}^{n-1}a^{i}A^i\)都是可逆矩陣，且互相爲對方的逆矩陣。這就爲求一類矩陣的逆提供了快捷的結論，而\(a=\pm 1\)時的結論比較經常使用。這種方法一樣適用於全\(1\)矩陣\(J_n\)，它是一個全部元素都爲\(1\)的方陣，它的典型特色是\(J^2=nJ\)。利用利用這個等式和方程思想，即可以計算一些矩陣的逆。好比要求\(I+J\)的逆，能夠直接假設\((I+J)(I+xJ)=I\)，而後解得\(x=-1/(n+1)\)。

\[(I-aA)(I+aA+a^2A^2+\cdots+a^{n-1}A^{n-1})=I-a^nA^n=I\tag{20}\]

3.2 冪等矩陣

　　冪等矩陣就是知足\(A^2=A\)的方陣，由定義顯然有\(A(I-A)=0\)，從這個平淡無奇的式子裏能獲得什麼呢？令\(B=I-A\)，由對稱性知\(B\)也是冪等矩陣，且\(A+B=I\)。首先由\(AB=0\)知\(\text{rank}(A)+\text{rank}(B)\leqslant n\)，另外還有\(\text{rank}(A)+\text{rank}(B)\geqslant \text{rank}(A+B)=n\)，從而獲得\(\text{rank}(A)+\text{rank}(B)=n\)。反之若是\(A+B=I\)且\(\text{rank}(A)+\text{rank}(B)=\text{rank}(A+B)\)，由Sylvester秩不等式便有\(\text{rank}(AB)=0\)，從而獲得\(A,B\)都是冪等矩陣。

　　這個結論其實能夠獲得很好的擴展，更通常地，設方陣知足\(A=A_1+\cdots+A_s\)。如下看三個條件：（I）\(A_i\)都爲冪等矩陣，且\(i\ne j\)時有\(A_iA_j=0\)；（II）\(A\)爲冪等矩陣；（III）\(\sum\text{rank}(A_i)=\text{rank}(A)\)。其中條件（II）等價於（II'）\(\text{rank}(A)+\text{rank}(I-A)=n\)，下面來尋找條件（I）的等價條件。令\(D=\text{diag}\{A_1,\cdots,A_s\}\)，再令\(K\)是\(s\times s\)個\(I\)組成的分塊矩陣，則不難發現條件（I）等價因而說：\(K\)是\(D\)的廣義逆。

　　利用公式（7）知它等價於\(\text{rank}(D)+\text{rank}(I-KD)=ns\)，對\(I-KD\)進行初等變換能夠獲得\(\text{diag}\{I-A,I,\cdots,I\}\)，從而有\(\text{rank}(I-KD)=n(s-1)+\text{rank}(I-A)\)。注意到\(\text{rank}(D)=\sum\text{rank}(A_i)\)，這時（I）的等價條件變爲（I'）\(\text{rank}(A_i)=n-\text{rank}(I-A)\)。如今看條件（I'）（II'）（III），其中任意二者均可以推導出第三者，這個結論對條件（I）（II）（III）固然也是成立的。

　　另外對於特徵值\(\lambda\)和特徵向量\(\alpha\)，因爲\(A^2\alpha=A\alpha\)獲得\(\lambda^2\alpha=\lambda\alpha\)，從而\(A\)只有特徵值\(1,0\)。特徵值\(0\)的特徵空間就是\((0-A)X=0\)的解空間，它的秩爲\(n-r\)，其中\(r\)爲\(A\)的秩。特徵值\(1\)的特徵空間是\((I-A)X=0\)的解空間，因爲\(I-A\)的秩爲\(n-r\)，故解空間的秩爲\(r\)。這樣兩個特徵空間的秩和爲\(n\)，故冪等矩陣能類似對角化，且對角矩陣爲\(\begin{bmatrix}I_r&0\\0&0\end{bmatrix}\)。因爲跡的不變性，反之能獲得任何冪等矩陣的秩爲\(\text{tr}(A)\)，這很是便於計算。

3.3 位移矩陣

　　位移矩陣是指矩陣\(S_n=\begin{bmatrix}0&I_{n-1}\\1&0\end{bmatrix}\)，當它左乘矩陣\(A\)時，至關於把\(A\)循環上移一行，當它右乘矩陣\(A\)時，至關於\(A\)循環右移一列。\(S_n\)是一個特殊的正交矩陣，它的逆顯然是\(\begin{bmatrix}0&1\\I_{n-1}&0\end{bmatrix}\)，\(S_n^{-1}\)的做用與\(S_n\)剛好相反。容易算得\(S_n\)的特徵多項式爲\(\lambda^n-1\)，故它的特徵值是全部單位複數\(\omega^i\)，由\(S_n\)的循環特性不難構造出\(\omega^i\)的特徵向量\([1,\omega^i,\cdots,\omega^{(n-1)i}]'\)。這樣就有\(S_n=P^{-1}DP\)，其中\(D=\text{diag}\{1,\omega,\cdots,\omega^{n-1}\}\)，且\(P=\{\omega^{ij}\}\)。

　　第一篇中咱們碰到過循環矩陣\(C_n\)，觀察\(S_n^k\)的形式特色，不可貴到式（21）。從而\(C_n\)的\(n\)個特徵值爲\(f(\omega^i)\)，且和\(S_n\)有相同的特徵向量\(P\)，這樣就能夠把\(C_n\)寫成\(P^{-1}D'P\)，其中\(D'=\{f(\omega^i)\}\)。這樣就不難算得\(|C_n|=|D'|=\prod f(\omega^i)\)，和前一篇的結論是同樣的，但思路卻更加天然。

\[C_n=f(S_n)=a_1I_n+a_2S_n+a_3S_n^2+\cdots+a_nS_n^{n-1}\tag{21}\]