《算法導論》第六章 練習題 Exercise

6.1-1

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　　在高度爲 h 的堆中，元素最多有 2^h+1 - 1 個，最少有 2^h  個。注意算法導論裏的高度是指深度，從 0 開始而不是從 1 開始。

 

6.1-2

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　　這很好想，可是很差證實。

　　由已知高度爲 h 的堆，它的元素個數知足 2^h   <= n <= 2^h+1 - 1 ，解出 lg(n+1) - 1 <= h <= lgn ，可是它不夠「合理」，由於當 n = 2^h+1-1 時，n 等於 2的冪 - 1，此時 lg(n+1) -1 = ⌊lgn⌋ ，因此 ⌊lgn⌋ <= h <= lgn 。而咱們默認高度 h 是一個天然數，因此左右界一致，得出 h = ⌊lgn⌋ 。

 

6.1-3

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　　最大堆的屬性告訴咱們除了根結點之外的全部結點都要知足 A[PARENT(I)] >= A[I] ，一棵樹是遞歸定義的，因此子樹的最大結點確定是其根結點。

 

6.1-4

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　　它必定是葉子結點，位於 ⌊lgn⌋ 或 ⌊lgn⌋ - 1 層

 

6.1-5

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　　按遞增排序的話，是的

 

6.1-6

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　　不是，"PARENT" 6 < "CHILD" 7

 

6.1-7

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　　經過反證法比較好證實。

　　假設 i ∈ { ⌊n/2⌋+1, ⌊n/2⌋+2, ... , n } ，那麼它的孩子的序號至少是 2·(⌊n/2⌋+1), 2·(⌊n/2⌋+2) ，顯然不在數組內。

　　因此能夠獲得結論：堆中葉子結點數 = ⌈n+1⌉

 

6.2-1

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　　 3 先與左右兒子比較，找到其中最大的關鍵字並記錄它的索引，讓它與 3 交換，遞歸調用實現 3 的子樹堆化。

 

6.2-2

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　　維護最小堆的算法以下：

#define LEFT(i) (2*i + 1)
#define RIGHT(i) (2*i + 2)

MIN-HEAPIFY (A, i)
    left = LEFT (i)
    right = RIGHT (i)
    if left <= A.HEAPSIZE && A[left] < A[i]
        min_index = left
    else
        min_index = i
    if right <= A.HEAPSIZE && A[right] < A[min_index]
        min_index = right
    if min_index != i
        exchange A[i] and A[min_index]
        MIN-HEAPIFY(A, min_index)

　　時間同樣，都是 Θ(lgn)

 

6.2-3

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　　不會進行遞歸堆化。　　

 

6.2-4

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　　其子結點的序號超出了堆的大小，程序將視爲其子結點不存在，因此不會進行堆化操做。

 

6.2-5

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　　尾遞歸改循環控制結構以下：　　

#define LEFT(i) (2*i + 1)
#define RIGHT(i) (2*i + 2)

MAX-HEAPIFY (A, i)
    while i < A.HEAPSIZE
        left = LEFT(i)
        right = RIGHT(i)

        if left < A.HEAPSIZE && A[left] > A[i]
            max_index = left
        else
            max_index = i

        if right < A.HEAPSIZE && A[right] > A[max_index]
            max_index = right

        if max_index != i 
            exchange A[max_index] and A[i]
        else
            return;

 

6.2-6

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　　...

 

6.3-1

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　　從 ⌊A.length/2⌋ 開始，即第一個非葉子結點 10 開始(最大)堆化，而後是 三、二、1 。過程很簡單，直接寫結果了，獲得的數組是 {84, 22, 19, 10, 3, 17, 6, 5, 9}

 

6.3-2

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　　咱們從 ⌊n/2⌋ 開始的目的是要讓每次迭代先後 i 都是最大堆的根。若是從 1 開始，那麼將沒法保持最大堆的特性（沒法保證循環不變式）。

 

6.3-3

　　這裏將利用到 6.1-7 的結論：堆中葉子結點數 = ⌈n/2⌉

　　首先，當 h = 0 時（算法導論中高度深度都是從 0 開始），高度爲零的堆就是葉子結點組成的堆，有  ⌈n/2⌉ 個這樣的堆，結點數是 ⌈n/2⌉

　　假設當 h = h-1 時，結論成立。

　　有一顆高度爲 h 的堆，若是把它的葉子結點都剪去後它將變成高度爲 h - 1 、結點數爲 n - ⌈n/2⌉ = ⌊n/2⌋ 的堆，代入 h = h-1 時的結論，有以下推導：

　　

　　同理，咱們能夠用高度爲 h+1 的堆剪去葉子結點獲得高度爲 h 的堆，其高度與最大結點數的關係仍是上式。