算法導論： 第9章

9.1-1 同時找出最小值和次小值

比較過程同足球比賽淘汰賽階段同樣，兩兩比較，構成一個比較樹。次小值只會出如今哪些跟最小值比較過的元素中，這些元素總共有的數目跟樹高同樣，爲[lgn]。

因此，總共花費(n-1) + ([lgn]-1)

9.3-6 k分位數

先找第(k-1)/2個分位數，而後將數組分紅兩部分，在前一部分找(k-1)/2前的那些中位數，在後一部分找(k-1)/2後的那些中位數，則有T(k) = 2*T(k/2) + O(n)。每一層的代價均爲O(n)，總共有lgk層。即爲O(nlgk)

9.3-7 最接近中位數的k個數

step1：求出數組S的中位數的值：O(n)

step2：計算數組每一個數與中位數差的絕對值，存於另外一個數組B中：O(n)

step3：求出數組B中第k小的數ret：O(n)

step4：計算數組S中與ret差的絕對值小於ret的數並輸出：O(n)

9.3-8 兩個排序數組的中位數

(1)找個數組X、Y的中位數x1,y1：O(1)

(2)若是它們相等，這就是要找的中位數。

(3)若是x1 < y1，則遞歸，在X中比x1大的b部分和Y中比y1小的c部分中找。

(4)若是x1 > y1，則遞歸，在X中比x1小的a部分和Y中比y1大的d部分中找。

X：[a部分]x1[b部分]

Y：[c部分]y1[d部分]

9-2 帶權中位數

b) 使用最壞狀況時間爲O(nlgn)的排序算法對每一個元素進行排序

而後，依次累加元素的權重，直到知足題目中公式。

c)step1：利用SELECT中尋找中位數的算法，找到中位數

step2：用中位數把數組分爲三段，即A[1..q-1] < A[q] < A[q+1..r]

step3：計算A[1..q-1]和A[q+1..r]的權值和，看是否知足題目中的公式。

step4：若知足，A[q]就是所求的數。

step5：若不知足，就遞歸使用本算法進行查找。哪一半的權值和比0.5大，就在哪一半中找。

e)記f(x,y) = Sum{wi*(|x-xi| + |y-yi|)}，即要最小化f(x,y)。

因爲f(x,y) = Sum{wi*(|x-xi| + |y-yi|)}

              = Sum{wi*|x-xi|} + Sum{wi*|y-yi|}

              = g(x) + h(y)

因此有min{f(x,y)} = min_x,y{g(x) + h(y)} = min_x{min_y{g(x) + h(y)}} = min_x{g(x) + min_y{h(y)}} = min_x{g(x)} + min_y{h(y)}

即分別解決兩個一維帶權中位數問題便可。