算法導論： 第5章

5.1-2 生成Random(a,b)

    運行b-a次Random(0,1),累加和，最後再加a。利用公式F(z) = w解出z便可，其中F(z)爲目標分佈，w爲區間0-1內的均勻分佈。

5.1-3 等機率生成0和1

   Biased-Random 以機率p輸出1，以機率1-p輸出0，

  則1-Biased-Random 以機率p輸出0，以機率1-p輸出1

  則調用Biased-Random後接着調用1-Biased-Random，出現的機率爲

   調用結果　　　　00　　　　　　01　　　　　 10　　　　11

   出現機率　   (1-p)*p　　  (1-p)*(1-p)　　   p*p　　  p*(1-p)

則1出現的指望E[1] = (1-p)*(1-p) + p*p + 2*p*(1-p) = 1;

  0出現的指望E[0] = 2(1-p)*p + (1-p)*(1-p) + p*p = 1;

故調用一次（Biased-Random） + （1-Biased-Random）就能夠讓0和1出現的機率相等。連續調用這個組合，統計0和1出現的個數，直到它們出現的個數不相等。此時輸出出現次數多的那個。每次調用產生0和1個個數相等的機率爲1-2*p*(1-p)。伯努利實驗指望爲O(1/(1-2*p*(1-p)))

網上還有另一種解法：運行Biased-Random兩次產生x和y，連續運行直到兩個數不等，而後輸出x。顯然，產生0的機率爲(1-p)*p，產生1的機率爲p*(1-p)，兩者產生機率相等。每次產生兩個不等的數，說明實驗成功，故是一個2*p*(1-p)機率的伯努利實驗，指望爲O(1/2*p*(1-p))。

但因爲2*p*(1-p)<1/2，因此後者的指望大，故後者用的次數更少。

5.3-5 Random(1,n^3)全部元素都惟一的機率至少爲1-1/n

參見http://photo.blog.sina.com.cn/list/blogpic.php?pid=932e6e55hc37388f5a11d&bid=932e6e5501015a80&uid=2469293653

5.1 機率計數

(a)令Vn表示n次自增操做後的值，令Xi表示i次自增操做後自增後和自增前數值的差，則有Vn = X1 + X2 + ... + Xn。

而E[Xi] = 0*(1-1/(n(i+1)-n(i))) + (n(i+1)-n(i))*(1/(n(i+1)-n(i))) = 1。得E[Vn] = n。

(b)n(i) = 100i，則n(i+1)-n(i) = 100；機率爲1/100 。

則Var[Xi] = E[Xi^2] - E[Xi]^2 = (0^2*99/100) + (100^2) *1/100 - 1^2 = 99。

故Var[Vn] = 99n;