C++生成徹底二叉樹

C++生成徹底二叉樹

2019-12-20

By Gauss

1.背景介紹

徹底二叉樹是效率很高的數據結構，徹底二叉樹是由滿二叉樹而引出來的。對於深度爲K的，有n個結點的二叉樹，當且僅當其每個結點都與深度爲K的滿二叉樹中編號從1至n的結點一一對應時稱之爲徹底二叉樹。

2.特色：

 

葉子結點只可能在最大的兩層上出現,對任意結點，若其右分支下的子孫最大層次爲L，則其左分支下的子孫的最大層次必爲L 或 L+1；

 

出於簡便起見,徹底二叉樹一般採用數組而不是鏈表存儲,其存儲結構以下:

 

var tree:array[1..n]of longint;{n:integer;n>=1}

 

對於tree[i]，有以下特色：

 

（1）若i爲奇數且i>1，那麼tree的左兄弟爲tree[i-1]；

 

（2）若i爲偶數且i<n，那麼tree的右兄弟爲tree[i+1]；

 

（3）若i>1，tree的父親節點爲tree[i/2]；

 

（4）若2*i<=n，那麼tree的左孩子爲tree[2*i]；若2*i+1<=n，那麼tree的右孩子爲tree[2*i+1]；

 

（5）若i>n div 2,那麼tree[i]爲葉子結點（對應於（3））；

 

（6）若i<(n-1) div 2.那麼tree[i]必有兩個孩子（對應於（4））。

 

（7）滿二叉樹必定是徹底二叉樹，徹底二叉樹不必定是滿二叉樹。

 

徹底二叉樹第i層至多有2^（i-1）個節點，共i層的徹底二叉樹最多有2^i-1個節點。

 

徹底二叉樹的特色是：

 

1）只容許最後一層有空缺結點且空缺在右邊，即葉子結點只能在層次最大的兩層上出現；

 

2）對任一結點，若是其右子樹的深度爲j，則其左子樹的深度必爲j或j+1。 即度爲1的點只有1個或0個

3.性質

若是一棵具備n個結點的深度爲k的二叉樹，它的每個結點都與深度爲k的滿二叉樹中編號爲1~n的結點一一對應，這棵二叉樹稱爲徹底二叉樹。

能夠根據公式進行推導，假設n0是度爲0的結點總數（即葉子結點數），n1是度爲1的結點總數，n2是度爲2的結點總數，則 ：

①n= n0+n1+n2 （其中n爲徹底二叉樹的結點總數）；又由於一個度爲2的結點會有2個子結點，一個度爲1的結點會有1個子結點，除根結點外其餘結點都有父結點，

②n= 1+n1+2*n2 ；由①、②兩式把n2消去得：n= 2*n0+n1-1，因爲徹底二叉樹中度爲1的結點數只有兩種可能0或1，由此獲得n0=n/2 或 n0=(n+1)/2。

簡便來算，就是 n0=n/2，其中n爲奇數時（n1=0）向上取整；n爲偶數時（n1=1）向下取整。可根據徹底二叉樹的結點總數計算出葉子結點數。

4.代碼實現

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 int a[100001];
 4 int buildtree(int n)
 5 {
 6     memset(a,-1,sizeof(a));
 7     for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=i;
 8 }
 9 int firsts(int n)
10 {
11     if(a[n]==-1) return 0;
12     printf("%d ",a[n]);
13     firsts(a[n]*2);
14     firsts(a[n]*2+1);
15 }
16 int main()
17 {
18     int T;
19     int n,m;
20     cin>>T;
21     while(T--)
22     {
23         scanf("%d",&n);
24         buildtree(n);
25         firsts(1);
26     }
27     return 0;
28 }

知識來源：百度百科