徹底二叉樹

一、徹底二叉樹(Complete Binary Tree)的定義：

若設二叉樹的深度爲h，除第 h 層外，其它各層 (1～h-1) 的結點數都達到最大個數，第 h 層全部的結點都連續集中在最左邊，這就是徹底二叉樹。

二、滿二叉樹的定義(full binary tree)：

國內定義：一個二叉樹，若是每個層的結點數都達到最大值，則這個二叉樹就是滿二叉樹。
         也就是說，若是一個二叉樹的層數爲K，且結點總數是(2^k) -1 ，則它就是滿二叉樹。
國外定義：滿二叉樹的結點要麼是葉子結點，度爲0，要麼是度爲2的結點，不存在度爲1的結點。

注：不知道什麼緣由致使這個差別，百度百科建議在國際交流場合，包括學術會議發表論文等都應該使用美國和國際定義.在國內的各類考試場合，好比研究生考試/軟考/計算機等級考試等，都應該使用國內教材的定義.在校學生的校級考根據所在學校採用教材狀況而定。
三、二叉樹的基本性質

節點的度：節點的子節點的數量爲該節點的度。在徹底二叉樹中，節點的度最多爲2，最少爲0。
葉子節點：度爲0的節點稱爲葉子節點。
假設徹底二叉樹的總結點樹爲n，度爲0的節點數量爲n0，度爲1的節點數量爲n1，度爲2的節點數量爲n2,則顯然知足n=n0+n1+n2。

性質1:二叉樹第i層上的結點數目最多爲2^(i-1),(i≥1)。

性質2:深度爲k的二叉樹至多有(2^k)-1個結點(k≥1)。 n=2^0+2^1+…+2^(k-1)=(2^k)-1故命題正確。

性質3 在任意-棵二叉樹中，若終端結點的個數爲n0，度爲2的結點數爲n2，則no=n2+1。

證實：由於二叉樹中全部結點的度數均不大於2，
   假設二叉樹的總結點樹爲n，度爲0的節點數量爲n0，度爲1的節點數量爲n1，度爲2的節點數量爲n2,
   則結點數之和：
       n=no+n1+n2 (式子1)
　 另外一方面，1度結點有一個孩子孩，2度結點有兩個子，故二叉樹中孩子結點總數是：
       nl+2*n2+
　　樹中只有根結點不是任何結點的孩子，故二叉樹中的結點總數又可表示爲：
       n=n1+2*n2+1 (式子2)
　　由式子1和式子2獲得：
       no=n2+1

三、徹底二叉樹的性質

性質1： 當n爲偶數時，n1=1，n爲奇數時，n1=0。

證實：
咱們知道徹底二叉樹的特色，它缺乏結點時老是出如今葉子層(即最下面一層)的右子樹開始連續缺乏；
咱們設徹底二叉樹的深度爲k(k>1),則從第1層至第k-1層的結點總數爲(2^k)-1個(根據二叉樹性質2計算出來)且必定是奇數，則第k層的節點數爲n-(2^k)-1；
假若n是偶數，則由偶數-奇數=奇數性質可知第k層節點數爲奇數，則存在1個度爲1的節點；
假若n是奇數，則由奇數-奇數=偶數性質可知第k層節點數爲偶數，則不存在度爲1的節點。

性質2：具備n個節點的徹底二叉樹的深度爲k=[log2(n)]（向上取整）。
性質3：對一顆具備n個節點的徹底二叉樹中的節點從1開始按層序編號，則對於任意的編號爲i（1<= i <=n的節點：
(1) 若是i=1,則節點i是根節點，無雙親。
(2) 若是i>1,則節點i的雙親節點爲[i/2](向下取整)
(3) 若是2i<=n，則i的左孩爲2i，若是2i>n，則i無左孩
(4) 若是2i+1<=n,則i的右孩爲2i+1，不然i無右孩