徹底二叉樹的性質

徹底二叉樹的性質

定義

滿二叉樹
: 一棵深度爲k，且有 \(2^{k+1}-1\) 個節點的二叉樹，稱爲滿二叉樹（Full Binary Tree）。 這種樹的特色是每一層上的節點數都是最大節點數。

徹底二叉樹
: 而在一棵二叉樹中，除最後一層外，若其他層都是滿的，而且最後一層或者是滿的，或者是在右邊缺乏連續若干節點，則此二叉樹爲徹底二叉樹（Complete Binary Tree）。

高度（深度）
: 即層數k，注意【根】定義爲\(height(root)=0\)。

性質

1. 具備n個節點的徹底二叉樹的深度爲 \(k=log_{2}n\) 。
2. 【滿二叉樹】\(i\)層的節點數目爲：\(2^i\)
3. 【滿二叉樹】節點總數和深度的關係：\(n=\sum_{i=0}^{k}2^i = 2^{k+1}-1\)
4. 【徹底二叉樹】最後一層的節點數爲：\(n-(2^k - 1) = n + 1 -2^k\) （由於除最後一層外，爲【滿二叉樹】）
5. 【徹底二叉樹】左子樹的節點數爲（總節點爲n）：
   \[ l(n) = \begin{cases} n-2^{k-1}, & n+1-2^k \le 2^{k-1} \text{ 由於最後一層所有都在左子樹，右子樹爲【滿二叉樹】高度爲 k-2}\\ 2^{k}-1, & n+1-2^k \gt 2^{k-1} \text{ 由於左子樹爲滿二叉樹，高度爲k-1} \end{cases} \]
6. 【徹底二叉樹】右子樹： \(r(n) = n-l(n)\)