AI數學基礎之:奇異值和奇異值分解

簡介

奇異值是矩陣中的一個很是重要的概念，通常是經過奇異值分解的方法來獲得的，奇異值分解是線性代數和矩陣論中一種重要的矩陣分解法，在統計學和信號處理中很是的重要。

在瞭解奇異值以前，讓咱們先來看看特徵值的概念。

類似矩陣

在線性代數中，類似矩陣是指存在類似關係的矩陣。設A，B爲n階矩陣，若是有n階可逆矩陣P存在，使得P^-1AP=B，則稱矩陣A與B類似，記爲A~B。

對角矩陣

對角矩陣(diagonal matrix)是一個主對角線以外的元素皆爲0的矩陣，常寫爲diag（a1，a2,...,an) 。對角矩陣能夠認爲是矩陣中最簡單的一種，值得一提的是：對角線上的元素能夠爲 0 或其餘值，對角線上元素相等的對角矩陣稱爲數量矩陣；對角線上元素全爲1的對角矩陣稱爲單位矩陣。對角矩陣的運算包括和、差運算、數乘運算、同階對角陣的乘積運算，且結果仍爲對角陣。

可對角化矩陣

可對角化矩陣是線性代數和矩陣論中重要的一類矩陣。若是一個方塊矩陣 A 類似於對角矩陣，也就是說，若是存在一個可逆矩陣 P 使得 P ⁻¹AP 是對角矩陣，則它就被稱爲可對角化的。

特徵值

設A爲n階矩陣，若存在常數λ及n維非零向量x，使得Ax=λx，則稱λ是矩陣A的特徵值，x是A屬於特徵值λ的特徵向量。

一個矩陣的一組特徵向量是一組正交向量。

即特徵向量被施以線性變換 A 只會使向量伸長或縮短而其方向不被改變。

一個線性變換一般能夠由其特徵值和特徵向量徹底描述。特徵空間是相同特徵值的特徵向量的集合。

特徵分解

特徵分解（Eigendecomposition），又稱譜分解（Spectral decomposition）是將矩陣分解爲由其特徵值和特徵向量表示的矩陣之積的方法。須要注意只有對可對角化矩陣才能夠施以特徵分解。

令 A 是一個 N×N 的方陣，且有 N 個線性無關的特徵向量 q_i(i=1,…,N)。這樣， A 能夠被分解爲: A= QΛQ^-1

其中 Q 是N×N方陣，且其第 i列爲 A 的特徵向量 。若是A的全部特徵向量用x1,x2 … xm來表示的話，那麼Q能夠表示爲：$\left[x_1,x_2,…,x_m\right]$, 其中x是n維非零向量。

Λ 是對角矩陣，其對角線上的元素爲對應的特徵值，也即Λ_ii=λ_i。 也就是$\left[\begin{matrix}λ_1 … 0\\… … …\\0 … λ_m \end{matrix}\right]$

這裏須要注意只有可對角化矩陣才能夠做特徵分解。好比 $\left[\begin{matrix}11\\01 \end{matrix}\right]$不能被對角化，也就不能特徵分解。

由於 A= QΛQ^-1 ，能夠看作A被分解爲三個矩陣，也就是三個映射。

假如如今有一個向量x，咱們能夠得出下面的結論：

$Ax=QΛQ^{-1}x$

Q是正交矩陣，正交陣的逆矩陣等於其轉置,因此$Q^{-1}$ = $Q^T$.$Q^T$對x的變換是正交變換，它將x用新的座標系來表示，這個座標系就是A的全部正交的特徵向量構成的座標系。好比將x用A的全部特徵向量表示爲：

$x=a_1x_1+a_2x_2+…+a_mx_m$

則經過第一個變換就能夠把x表示爲$[a_1 a_2 ... a_m]^T$。

$QΛQ^{-1}x=QΛ\left[\begin{matrix}x_1^T\\x_2^T\\…\\…\\x_m^T \end{matrix}\right](a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+…+a_mx_m)=QΛ\left[\begin{matrix}a_1\\a_2\\…\\a_m \end{matrix}\right]$

而後，在新的座標系表示下，由中間那個對角矩陣對新的向量座標換，其結果就是將向量往各個軸方向拉伸或壓縮:

$QΛ\left[\begin{matrix}a_1\\a_2\\…\\a_m \end{matrix}\right]=Q\left[\begin{matrix}λ_1 … 0\\… … …\\0 … λ_m \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}a_1\\a_2\\…\\a_m \end{matrix}\right]=Q\left[\begin{matrix}λ_1a_1\\λ_2a_2\\…\\λ_ma_m \end{matrix}\right]$

​ 若是A不是滿秩的話，那麼就是說對角陣的對角線上元素存在0，這時候就會致使維度退化，這樣就會使映射後的向量落入m維空間的子空間中。

最後一個變換就是Q對拉伸或壓縮後的向量作變換，因爲Q和$Q^{-1}$是互爲逆矩陣，因此Q變換是$Q^{-1}$變換的逆變換。

特徵值的幾何意義

一個矩陣乘以一個列向量至關於矩陣的列向量的線性組合。一個行向量乘以矩陣，至關於矩陣的行向量的線性組合。

因此向量乘以矩陣以後，至關於將這個向量進行了幾何變換。

以前講了 Λ 是對角矩陣，其對角線上的元素爲對應的特徵值，也即Λ_ii=λ_i。 也就是$\left[\begin{matrix}λ_1 … 0\\… … …\\0 … λ_m \end{matrix}\right]$

這些特徵值表示的是對向量作線性變換時候，各個變換方向的變換幅度。

奇異值 Singular value

假如A是m n階矩陣，q=min(m,n)，AA的q個非負特徵值的算術平方根叫做A的奇異值。

奇異值分解SVD

特徵值分解能夠方便的提取矩陣的特徵，可是前提是這個矩陣是一個方陣。若是是非方陣的狀況下，就須要用到奇異值分解了。先看下奇異值分解的定義：

$A=UΣV^T$

其中A是目標要分解的m n的矩陣，U是一個 n n的方陣，Σ 是一個n m 的矩陣，其非對角線上的元素都是0。$V^T$是V的轉置，也是一個n n的矩陣。

奇異值跟特徵值相似，在矩陣Σ中也是從大到小排列，並且奇異值的減小特別的快，在不少狀況下，前10%甚至1%的奇異值的和就佔了所有的奇異值之和的99%以上了。也就是說，咱們也能夠用前r大的奇異值來近似描述矩陣。r是一個遠小於m、n的數，這樣就能夠進行壓縮矩陣。

經過奇異值分解，咱們能夠經過更加少許的數據來近似替代原矩陣。

本文已收錄於 www.flydean.com

最通俗的解讀，最深入的乾貨，最簡潔的教程，衆多你不知道的小技巧等你來發現！

歡迎關注個人公衆號:「程序那些事」,懂技術，更懂你！