[數學基礎]奇異值分解SVD

　　以前看到過不少次奇異值分解這個概念，但我確實沒有學過。大學線性代數課教的就是坨屎，我也沒怎麼去上課，後來查了點資料算是搞清楚了，如今寫點東西總結一下。

　　奇異值分解，就是把一個矩陣拆成一組矩陣之和。在數學裏面，因式分解，泰勒展開，傅里葉展開，特徵值分解，奇異值分解都是這個路數。就是把當前數據表示成一組某種意義下互相獨立的數據疊加的形式。目的在於簡化計算處理或捨棄次要信息。

　　　　　　　　　　數學表達：或

　　其中係數是每一項的奇異值，u，v是列向量，能夠發現每一項的都是秩爲一的矩陣，咱們人爲假定。跟矩陣特徵值分解在形式上仍是有很大類似之處的。

　　每一個矩陣均可以表示成多個秩爲一的矩陣的和，而每一項前的係數也就是奇異值的大小反映了這一項相對於A的權重大小。

　　而後說一下SVD的物理應用，主要舉例圖像壓縮與圖像去噪。

　　圖像壓縮，即適當下降圖像精度，假設矩陣A表示了目標圖片，對A做SVD分解，那麼咱們把A的分解式末端權重較小的部分捨棄(或者說只保留前面權重大的若干項)，那麼這張圖片所需存儲量便大大下降了，進而達到了圖像壓縮。

　　圖像去噪，若是一副圖像包含噪聲，咱們有理由相信那些較小的奇異值就是由噪聲引發的。例如圖像矩陣A奇異值分解後獲得的奇異值爲：15.29，7.33，5.23，4.16，0.24，0.03。最後兩項相對於前面幾項權重過小了，把它們舍掉，便直觀地看出圖像噪聲減小了。