方向導數和梯度

1、方向導數

如今咱們來討論函數在一點沿某一方向的變化率問題.

定義 設函數在點的某一鄰域內有定義.自點引射線.設軸正向到射線的轉角爲（逆時針方向：0；順時針方向：0），並設＇(+△,+△)爲上的另外一點且＇∈.咱們考慮函數的增量(+△,+△)－與、＇兩點間的距離的比值.當＇沿着趨於時，若是這個比的極限存在，則稱這極限爲函數在點沿方向的方向導數，記做，即

                             (1)

從定義可知，當函數在點的偏導數x、y存在時，函數在點沿着軸正向=，軸正向=的方向導數存在且其值依次爲x、y，函數在點沿軸負向=，軸負向=的方向導數也存在且其值依次爲-x、-y.

關於方向導數的存在及計算，咱們有下面的定理.

定理  若是函數在點是可微分的，那末函數在該點沿任一方向的方向導數都存在，且有

                                                    (2)

其中爲軸到方向的轉角.

證  根據函數在點可微分的假定，函數的增量能夠表達爲

           

兩邊各除以，獲得

                     

因此                 

這就證實了方向導數存在且其值爲

                          

例一、 求函數=在點處沿從點到點 方向的方向導數.

解  這裏方向即向量=的方向，所以軸到方向的轉角，

由於                  

在點 ，,.故所求方向導數

                  

例二、 設由原點到點的向徑爲，軸到的轉角爲，軸到射線的轉角爲，求，其中=   .    

解  由於     

                .

因此            

由例8-26可知，當時，,即沿着向徑自己方向的方向導數爲1;而當時，, 即沿着與向徑垂直方向的方向導數爲零.

對於三元函數=來講，它在空間一點沿着方向 (設方向的方向角爲的方向導數，一樣能夠定義爲

                               (3)

其中，△=,△=,△=.

一樣能夠證實，若是函數在所考慮的點處可微分，那末函數在該點沿着方向的方向導數爲

                     

2、 梯度

1.梯度的定義

與方向導數有關聯的一個概念是函數的梯度.

定義 設函數在平面區域內具備一階連續偏導數，則對於每一點，均可定出一個向量

                             

這向量稱爲函數=在點的梯度，記做，即

                    = 

若是設是與方向同方向的單位向量，則由方向導數的計算公式可知

           

這裏，(＾，e)表示向量與的夾角.由此能夠看出，就是梯度在射線上的投影，當方向與梯度的方向一致時，有

                      (＾，) 1，

從而有最大值.因此沿梯度方向的方向導數達到最大值，也就是說,梯度的方向是函數在這點增加最快的方向.所以，咱們能夠獲得以下結論:

函數在某點的梯度是這樣一個向量，它的方向與取得最大方向導數的方向一致，而它的模爲方向導數的最大值.

由梯度的定義可知，梯度的模爲

                   

當不爲零時，那末軸到梯度的轉角的正切爲

                                

咱們知道，通常說來二元函數在幾何上表示一個曲面，這曲面被平面z=c(c是常數)所截得的曲線的方程爲

                                

這條曲線在面上的投影是一條平面曲線（圖8―10），它在平面直角座標系中的方程爲

                               

對於曲線上的一切點，已給函數的函數值都是，因此咱們稱平面曲線爲函數的等高線.

因爲等高線上任一點處的法線的斜率爲

                        ,

因此梯度                      

爲等高線上點處的法向量，所以咱們可獲得梯度與等高線的下述關係：函數在點的梯度的方向與過點的等高線在這點的法線的一個方向相同，且從數值較低的等高線指向數值較高的等高線（圖8―10），而梯度的模等於函數在這個法線方向的方向導數.這個法線方向就是方向導數取得最大值的方向.

例8-28  求

解 這裏   

   由於      

因此   

3.數量場與向量場

若是對於空間區域內的任一點，都有一個肯定的數量，則稱在這空間區域內肯定了一個數量場（例如溫度場、密度場）等.一個數量場可用一個數量函數來肯定.若是與點相對應的是一個向量，則稱在這空間區域內肯定了一個向量場（例如力場，速度場等）.一個向量場可用一個向量函數來肯定，而

                 ,

其中是點的數量函數.

利用場的概念，咱們能夠說向量函數肯定了一個向量場——梯度場，它是由數量場產生的.一般稱函數爲這個向量場的勢.而這個向量場又稱爲勢場.必須注意，任意一個向量場不必定是勢場，由於它不必定是某個數量函數的梯度場.

小結：本節主要研究函數在一點沿某一方向的變化率問題，給出方向導數的定義及其相關的梯度的定義，推導出方向導數和梯度的求法，並經過梯度的意義介紹了等高線、等量面、數量場與向量場等概念.