BZOJ2818 Gcd

題目連接：https://vjudge.net/problem/HYSBZ-2818

知識點：　　歐拉函數、積性函數

解題思路：

　　對於有序數對 \((x,y)\)，若其知足 \(gcd(x,y)=p\)（\(p\)爲質數），咱們能夠將 \(x\) 和 \(y\) 同時除以 \(p\)，上式就變成了\(gcd(x',y')=1\)，那麼對於一個 \(x\) ，知足條件的 \(y\) 的個數爲 \(\varphi (x)\) 。對於 \([1,N]\) 中的每個質數 \(p\)，咱們能夠經過求 \([1,N/p]\) 這個範圍內的歐拉函數的總和來求得 \(gcd(x,y) = p\) 的無序數對的個數，考慮到題目中的數對是有序的，因此還須要將無序數對乘二。還有一點是當 \(x\) 和 \(y\) 都是相同的質數時須要特殊處理。

　　求前 \(n\) 個數的歐拉函數值的算法主要就是利用歐拉函數是積性函數的性質和一條歐拉函數的經典計算式：

　　\(\varphi(n) = \prod_{i=1}^{k} (p_i-1)p_i^{c_i-1}\).

AC代碼：

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 
 3 using namespace std;
 4 typedef long long LL;
 5 const int maxn = 1e7+5;
 6 bool check[maxn];
 7 int phi[maxn];
 8 int prime[maxn>>1],tot;
 9 
10 void init(int N){
11     phi[1]=1;
12     tot=0;
13     for(int i=2;i<=N;i++){
14         if(!check[i]){
15             phi[i]=i-1;
16             prime[tot++]=i;
17         }
18         for(int j=0;j<tot&&(LL)i*prime[j]<=N;j++){
19             check[i*prime[j]]=true;
20             if(i%prime[j]==0){
21                 phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
22                 break;
23             } else{
24                 phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
25             }
26         }
27     }
28 }
29 
30 int main(){
31     LL ans=0;
32     int N;
33     scanf("%d",&N);
34     init(N);
35 
36     for(int i=0;i<tot;i++){
37         for(int j=1;j<=N/prime[i];j++)
38             ans+=phi[j]*2;
39         ans--;
40     }
41     printf("%lld\n",ans);
42     return 0;
43 }