【BZOJ2820】YY的GCD

題面

Description

神犇YY虐完數論後給傻×kAc出了一題

給定N, M,求1<=x<=N, 1<=y<=M且gcd(x, y)爲質數的(x, y)有多少對

kAc這種傻×必然不會了，因而向你來請教……

多組輸入

Input

第一行一個整數T 表述數據組數

接下來T行，每行兩個正整數，表示N, M

Output

T行，每行一個整數表示第i組數據的結果

Sample Input

2

10

10

100

100

Sample Output

30

2791

Hint

\(T \leq 10000\)

\(N, M \leq 10000000\)

題目分析

簡單版：【BZOJ2818】Gcd

如下式子從【BZOJ2818】Gcd最後一步開始化。

(注：式子中\(d\)默認爲質數)

\[ \begin{split} ans&=\sum\limits_{d=1}^n\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\mu(i)\lfloor\frac n{id}\rfloor\lfloor\frac m{id}\rfloor\\ 設T&=id\\ ans&=\sum\limits_{d=1}^n\sum\limits_{d|T}^n\mu(\frac Td)\lfloor\frac nT\rfloor\lfloor\frac mT\rfloor\\ &=\sum\limits_{T=1}^n\sum\limits_{d|T}\mu(\frac Td)\lfloor\frac nT\rfloor\lfloor\frac mT\rfloor\\ &=\sum\limits_{T=1}^n\lfloor\frac nT\rfloor\lfloor\frac mT\rfloor\sum\limits_{d|T}\mu(\frac Td) \end{split} \]

對於後面的\(\sum\limits_{d|T}\mu(\frac Td)\)，

咱們能夠選擇\(O(n\log n)\)的調和級數方法預處理，

也能夠根據其積性在線性篩中預處理。

以後，即可以整除分塊直接\(O(\sqrt n)\)計算。

代碼實現

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<cstdlib>
#define MAXN 0x7fffffff
typedef long long LL;
const int N=1e7+5;
using namespace std;
inline int Getint(){register int x=0,f=1;register char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
int mu[N],prime[N],g[N];
bool vis[N];
int main(){
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=1e7;i++){
        if(!vis[i])prime[++prime[0]]=i,mu[i]=-1,g[i]=1;
        for(int j=1;j<=prime[0]&&1ll*i*prime[j]<=1e7;j++){
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                g[i*prime[j]]=mu[i];
                break;
            }
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            g[i*prime[j]]=mu[i]-g[i];
        }
    }
    for(int i=2;i<=1e7;i++)g[i]+=g[i-1];
    int T=Getint();
    while(T--){
        int n=Getint(),m=Getint();
        if(n>m)swap(n,m);
        LL ans=0;
        for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){
            r=min(n/(n/l),m/(m/l));
            ans+=1ll*(n/l)*(m/l)*(g[r]-g[l-1]); 
        }
        cout<<ans<<'\n';
    }
    return 0;
}