質心座標(barycentric coordinates)及其應用

1、什麼是質心座標？

在幾何結構中，質心座標是指圖形中的點相對各頂點的位置。

以圖１的線段 AB 爲例，點 P 位於線段 AB 之間，

　　圖１　線段AB和點P

 

此時計算點 P 的公式爲 。

 

同理，在三角形 ABC 中，三角形內點 P 的計算公式爲：——公式一。

 公式一的最終表示形式爲：

 

那麼如何計算參數 m 和 n 呢？

下面給出推導過程：

根據公式一可得：

咱們將  記做向量  ，將  記做向量  ， 將  記做向量 ，則公式爲：

而後分別乘以 v0  和 v1 獲得以下兩個公式：

  

繼續化解方程式得：

 令：

繼續化簡方程式得：

根據萊布尼茨公式可得：

 

其中d = 

 

2、質心座標的應用

質心座標的應用場景不少，能夠用於：

• 判斷一個點是否在三角形內
• 根據三角形三個頂點獲得三角形內一個點P

 

3、代碼實現

 已知三角形的三個頂點，計算三角形內一個點 P 的代碼實現：

//vPos1, vPos2,vPos3 分別表明三角形的三個頂點 //vP表明三角形內的一個點、 //fI表明 vPos1的係數 //fJ表明 vPos2的係數 //fK 表明 vPos3的係數
bool GetBarycentricCoord(vec2 vPos1, vec2 vPos2, vec2 vPos3, vec2 vP, float& fI, float& fJ, float& fK) { // Compute vectors
    vec2 v0 = vPos2 - vPos1; vec2 v1 = vPos3 - vPos1; vec2 v2 = vP - vPos1; // Compute dot products
    float fDot00 = Dot(v0, v0); float fDot01 = Dot(v0, v1); float fDot02 = Dot(v0, v2); float fDot11 = Dot(v1, v1); float fDot12 = Dot(v1, v2); // Compute barycentric coordinates
    float fInvDenom = 1 / (fDot00 * fDot11 - fDot01 * fDot01); float fTempU = (fDot11 * fDot02 - fDot01 * fDot12) * fInvDenom; float fTempV = (fDot00 * fDot12 - fDot01 * fDot02) * fInvDenom; // Check if point is in triangle or edge
    bool bIsInTri = (fTempU >= 0) && (fTempV >= 0) && (fTempU + fTempV <= 1); if (bIsInTri) { fJ = fTempU; fK = fTempV; fI = 1 - fJ - fK; } return bIsInTri; }