卡特蘭數的證實及其應用

卡特蘭數又稱卡塔蘭數，卡特蘭數是組合數學中一個常出如今各類記數問題中的數列。

原理：

設h(n)爲catalan數的第n+1項，令h(0)=1,h(1)=1，catalan數知足遞推式  ：

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0) (n>=2)

 

例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2

h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5

 

另類遞推式：

h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

 

遞推關係的解爲：

h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

 

遞推關係的另類解爲：（ c(2n,n-1)與c(2n,n+1)是同樣的，排列組合知識 ）

h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)

 

 

下面經過一個例題來體現其遞推式的產生過程

一個棧(無窮大)的進棧序列爲1，2，3，…，n，有多少個不一樣的出棧序列?（進棧的順序已經肯定了，且n>=2）

1.咱們設  f（n）=序列個數爲n的出棧序列種數。同時，咱們假定，從開始到棧第一次出到空爲止，這段過程當中第一個出棧的序數是k。特別地，若是棧直到整個過程結束時才空，則k=n。

2.第一個出棧的序數k將1~n的序列分紅兩個序列，其中一個序列是1~k-1，序列個數爲k-1，另一個序列是k+1~n，序列個數是n-k。

3.咱們若把k視爲肯定一個序數，那麼根據乘法原理，f（n）的問題就等價於——序列個數爲k-1的出棧序列種數乘以序列個數爲n - k的出棧序列種數，即選擇k這個序數的 f（n）=f（k-1）×f（n-k）。而k能夠選1到n，因此再根據加法原理，將k取不一樣值的序列種數相加，獲得的總序列種數爲：f（n）=f（0）f（n-1）+f（1）f（n-2）+……+f（n-1）f（0）。（ f (0)==1 f(1)==1)，因此此問題的求解式知足卡特蘭數的原理的。

4.卡特蘭數的遞推關係的解，即求出此問題不一樣出棧順序有多少。咱們用折現法來證實。

事實上，能夠認爲問題是，任意兩種操做（入棧和出棧），要求每種操做的總次數同樣，且進行第k次出棧前必須先進行至少k次入棧。咱們假設一我的在原點，入棧是此人沿右上角45°走一個單位（一個單位設爲根號2，這樣他第一次進行操做1就恰好走到（1,1）點），出棧是此人沿右下角45°走一個單位。第k次出棧前必須先進行至少k次入棧，就是說明所走出來的折線不能跨越x軸走到y=-1這條線上！在進行n次入棧和n次出棧後，此人必將到到達（2n，0）！若無跨越x軸的限制，折線的種數將爲 C（2n，n），即在2n次操做中選出n次做爲入棧的方法數。

如今只要減去跨越了x軸的狀況數。對於任意跨越x軸的折線狀況，必有將與y=-1相交的點。找出第一個與y=-1相交的點k，將k點以右的折線根據y=-1對稱（即後面曲線的變化規律是反的可是數量上是保持一致的）。能夠發現終點最終都會從（2n，0）對稱到（2n，-2）（由於的座標終點是固定的）。因爲對稱老是能進行的，且是可逆的。（即所求不一樣折線的總數是同樣的，等價的）咱們能夠得出全部跨越了x軸的折線總數是與從（0,0）到（2n,-2）的折線總數數量相等。撇開k點後的實線折線圖無論，虛線表示的其實就是入棧和出棧的總數是2n，而出棧的數量比入棧多了一次（沒必要在乎其在文字上的合理性，咱們只是須要求出其值）那麼出棧就出了n+1次，入棧就入了n-1次。因此其不一樣折線數量爲C（2n,n-1) or C (2n,n+1).

因此卡特蘭數遞推關係的解爲f(n)=C(2n,n)-C(2n,n-1) or f(n)=C(2n,n)-C(2n,n+1)。