卡特蘭數(Catalan Number)及其應用

定義

卡特蘭數是一個常出如今各類計數問題中的數列, 其知足的遞推方程以下：
$$C(n) = \sum_{k=0}^{n-1} C(k) \times C(n-1-k), n \gt 0$$
令初始值$C(0) = 1$，其前幾項爲：1， 1， 2， 5， 14， 42...
其通項公式有多種寫法，如用生成函數法能夠直接由以上遞推方程求出，這裏暫且不表，僅取一種簡潔且易於計算的形式：
$$C(n) = \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$$

應用

卡特蘭數能夠應用於許多有趣的組合數學問題及CS中的計數問題，列舉其中部分：

1. n個數共有多少種不一樣的出棧序列？ -- C(n).
2. n對括號共有多少種合法配對形式？e.g., n = 2，()(), (()) -- C(n).
3. 給n+1個相乘的數加括號，e.g., n=2, ((ab)c), (a(bc)). 共有多少種方法？ --- C(n).
4. 有n個節點的二叉樹（問二叉搜索樹(BST)也同樣）， 有多少種不一樣構成形式？-- C(n).
5. 有n+1個葉子結點的滿二叉樹，共有多少種？ -- C(n).
6. 將凸n+2邊形以不相交的對角線分割爲n個三角形，共有多少種方法？ -- C(n).
7. n個-1和n個1構成的序列中，知足任意前綴和都大於0的有多少種？ -- C(n). 這個問題能夠將-1當作入棧，1當作出棧，前綴和大於0的序列等價於出棧序列。

由此衍生出許多問題，一般均可以寫出定義中的遞推方程。如一道筆試題：
在圖書館一共6我的在排隊，3個還《面試寶典》一書，3個在借《面試寶典》一書，圖書館此時沒有了面試寶典了，求他們排隊的總數？
-- 相似例題7，由C(3)=5，但注意組合的問題都認爲物品是相同的，這裏還要考慮3個不一樣的人的排列，所以總數： 5 * 3！* 3! = 180.

計算

如今上code來計算第n個組合數$C(n)$. 分別從遞推公式和通項公式出發有兩種方法：

動態規劃

根據遞推公式很容易寫出動規， 在忘記通項公式的時候能夠使用， 大多數狀況不會超時。

int catalan(int n) {
    vector<int> dp(n+1, 0);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 0; j <= i - 1; ++j)
            dp[i] += dp[j] * dp[i-1-j];
    return dp[n];
}

• 時間複雜度：$O(n^2)$
• 空間複雜度：$O(n)$

計算組合數

若是記得通項公式，那麼直接計算組合數更快，利用我在另外一篇文章的提到的方法compute_binomial 能夠在O(n)時間完成.

int catalan(int n) {
    return compute_binomial(2*n, n) / (n+1);
}

• 時間複雜度：$O(n)$
• 空間複雜度：$O(1)$