Introduction to 3D Game Programming with DirectX 12 學習筆記之 --- 第二十二章：四元數（QUATERNIONS）

時間  2020-04-30
標籤 introduction 3d game programming directx 學習 筆記 第二 十二 四元數 quaternions 欄目 遊戲 简体版
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原文: Introduction to 3D Game Programming with DirectX 12 學習筆記之 --- 第二十二章：四元數（QUATERNIONS）

學習目標

  1. 回顧複數，以及複數相乘如何在平面上表達旋轉；
  2. 理解四元數以及它的運算；
  3. 理解單位四元數如何表達3D旋轉；
  4. 學習如何轉換旋轉變量的表達；
  5. 學習如何對單位四元數線性差值，而且理解它等價於幾何上的3D角度差值；
  6. 熟悉DirectX Math庫中的四元數類和操做。

1 回顧複數

四元數能夠看作是一個複數，因此咱們先要回顧一下複數。本章的主要目標是展現一個複數P乘以一個單位複數，獲得的是旋轉後的P。數組

1.1 定義

有不少種方法介紹複數，咱們採用下面的方法，將它想象成一個2D點或者向量。
一對排序的實數z = (a, b)是一個複數。第一個部分叫實數部分，第二個部分是虛數部分。而且加減乘除定義以下：
在這裏插入圖片描述
而且很容易證實實數的算術性質對複數也依然有效（交換律，結合律，分配率）（練習1）；markdown

若是一個複數形式是(x, 0)，那麼它就是經過實數x定義，而後寫成(x, 0)；那麼任何實數均可以是一個複數，其虛數部分是0；觀察一個實數乘以一個複數x(a, b) = (x, 0)(a, b) = (xa, xb) = (a, b)(x, 0) = (a, b)x，這個形式可讓咱們回憶起變量-向量的乘法。
咱們定義單位虛數i = (0, 1)，而後使用定義的複數乘法，i^2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1，因此i是方程x^2 = −1的解。
複數z = (a, b)的複數共軛表示爲z‾\overline{z}z，而且z‾\overline{z}z= (a, −b)；一個簡單的記住複數除法公式的方法是：分子和分母乘以分母的共軛，這樣分母就成爲了一個實數：
在這裏插入圖片描述ide

下面展現一個複數(a, b)能夠寫爲a + ib，咱們有a = (a, 0), b = (b, 0)和i = (0, 1)，因此：
在這裏插入圖片描述函數

使用a + ib形式，咱們能夠重作加減乘除：
在這裏插入圖片描述
而且在這種形式下，z = a + ib的共軛複數爲a - ib。oop

1.2 幾何解釋

咱們將複數a + ib = (a, b)理解爲幾何上的2D向量或者點（在複平面）；複數相加匹配到向量的相加：
在這裏插入圖片描述
複數的絕對值或者長度由向量的長度來定義：
在這裏插入圖片描述
咱們將長度爲1的複數稱之爲單位複數：
在這裏插入圖片描述學習

1.3 極座標表示和旋轉

由於複數能夠看作是2D複平面的點或者向量，因此咱們也能夠將它表示到極座標：
在這裏插入圖片描述
後面的等式就是複數a + ib的極座標表示。
在這裏插入圖片描述
令z1 = r1(cosθ1 + isinθ1), z2 = (cosθ2 + isinθ2)，那麼：
在這裏插入圖片描述
這裏使用了三角定理：
在這裏插入圖片描述
因此幾何上，z1z2的乘積表示長度爲r1r2的向量旋轉了θ1 + θ2角度；若是其中r2爲1，那麼乘積就表示將z1旋轉了θ2角度。如上圖，因此複數乘以單位複數，表示把前面的複數旋轉。動畫

2 四元數代數

2.1 基本運算的定義

四個有序實數q = (x, y, z, w) = (q1, q2, q3, q4)是一個四元數，一般簡寫爲q = (u, w) = (x, y, z, w)，而且咱們稱u = (x, y, z)爲虛數部分，w爲實數部分。那麼加減乘除定義以下：
在這裏插入圖片描述
乘法的定義看起來會比較奇怪，可是這些運算是定義，因此咱們能夠定義爲咱們想要的形式，而且這些形式頗有用。矩陣的乘法定義一開始也看起來很奇怪，可是結果是它們頗有用。
令p = (u, p4) = (p1, p2, p3, p4)而且q = (v, q4) = (q1, q2, q3, q4)，那麼u × v =(p2q3 – p3q2, p3q1 – p1q3, p1q2 – p2q1)而且u·v = p1q1 + p2q2 + p3q3。那麼組件形式下，四元數的乘積r = pq是：
在這裏插入圖片描述
能夠寫成矩陣乘法形式：
在這裏插入圖片描述
若是你偏心行向量形式，取其轉置矩陣：
在這裏插入圖片描述this

2.2 特殊乘積

令i = (1, 0, 0, 0), j = (0, 1, 0, 0), k = (0, 0, 1, 0)爲四元數，那麼咱們有一些特殊乘積，會讓咱們回憶起叉積：
在這裏插入圖片描述
這些等式是直接從四元數乘積公式得來的，好比：
在這裏插入圖片描述atom

2.3 特性

四元數的乘法不具有交換律，下圖證實ij = −ji。四元數乘積具備結合律；因此四元數能夠聯想爲矩陣的乘積，具備結合律，不具備交換律。四元數e = (0, 0, 0, 1)用以乘法單位：
在這裏插入圖片描述
四元數具備乘法分配律p(q + r) = pq + pr 和 (q + r)p = qp + rp。spa

2.4 轉化

咱們將實數、向量與四元數經過下面的方式來關聯。令s是實數x，u = (x, y, z)是向量，那麼：
在這裏插入圖片描述
能夠說任意實數是一個有0向量的四元數，任意向量是一個具備0實數的四元數；另外單位四元數爲1 = (0, 0, 0, 1)；一個四元數具備0實數稱之爲純四元數（pure quaternion）。

使用四元數乘法的定義，一個實數乘以四元數是標量相乘，具備交換律：
在這裏插入圖片描述
在這裏插入圖片描述

2.5 共軛和標範數

四元數q = (q1, q2, q3, q4) = (u, q4)的共軛由q定義：
在這裏插入圖片描述
也就是直接將虛數部位取反；相比於共軛複數，它具備下面特性：
在這裏插入圖片描述
其中q + q和qq* = q*q等於實數。

四元數的範數（長度），定義爲：
在這裏插入圖片描述
範數爲1的四元數爲單位四元數，範數具備下面的特性：
在這裏插入圖片描述
特性2表示2個單位四元數相乘，依然是單位四元數；若是||p|| = 1，那麼||pq|| = ||q||。

共軛和範數的特性能夠直接經過定義推導出來，好比：
在這裏插入圖片描述

2.6 逆（Inverses）

由於矩陣和四元數乘法不具備交換律，因此不能直接定義除法運算。可是每一個非0四元數具備逆，令q = (q1, q2, q3, q4) = (u, q4)是一個非0的四元數，那麼它的逆經過q−1q^{-1}q−1來定義：
在這裏插入圖片描述
很容易證實它是複數的逆：
在這裏插入圖片描述
能夠看出若是q是單位四元數，那麼∣∣q∣∣2=1||q||^2 = 1∣∣q∣∣2=1，而且q−1=q∗q^{-1} = q^*q−1=q∗。
而且符合下面的特性：
在這裏插入圖片描述

2.7 極座標表達

若是q = (q1, q2, q3, q4) = (u, q4)是單位四元數，那麼：
在這裏插入圖片描述
在這裏插入圖片描述
上圖表示，對於θ∈[0, π]，q4 = cosθ，根據三角定義sin2θ + cos2θ = 1：
在這裏插入圖片描述
因此
在這裏插入圖片描述
如今求單位向量：
在這裏插入圖片描述
因此u = sinθn，如今咱們能夠寫出單位四元數q = (u, q4)的極座標表達，其中n是單位向量：
在這裏插入圖片描述

若是咱們將−θ帶入等式中的θ，只是取反了向量部分：
在這裏插入圖片描述
下節將會介紹，n表示旋轉的軸向。

3 單位四元數和旋轉

3.1 旋轉運算

令q = (u, w)是一個單位四元數而且令v是一個3D點或者向量，而後咱們認爲v是一個純四元數p = (v, 0)。當q是一個單位四元數時，q−1=q∗q^{−1} = q^*q−1=q∗。回顧四元數乘法公式：
在這裏插入圖片描述
如今考慮下面的乘法：
在這裏插入圖片描述
對其長度稍做簡化，咱們把實數部分和向量部分分開計算。咱們作下面的符號替換：
在這裏插入圖片描述
實數部分：
在這裏插入圖片描述
其中u · (v × u) = 0，由於根據叉積的定義，(v × u)是和u正交的。

虛數部分：
在這裏插入圖片描述
其中對u × (u × v)應用了乘法定義：a × (b × c) = (a · c)b − (a · b)c。因此：
在這裏插入圖片描述
計算的結果是一個向量或者點，其實數部分爲0。因此隨後的等式中，咱們放棄實數部分。
由於q是一個單位四元數，因此能夠寫爲：
在這裏插入圖片描述
帶入上面公式後：
在這裏插入圖片描述
爲了進一步簡化，咱們帶入三角定義：
在這裏插入圖片描述
對比第三章的旋轉公式，咱們發現它和旋轉公式基本一致，它將向量v沿着n軸旋轉2θ度。
在這裏插入圖片描述
因此咱們定義四元數旋轉運算：
在這裏插入圖片描述
因此若是你要沿着n軸旋轉θ度，那麼你能夠構建對於的旋轉四元數：
在這裏插入圖片描述
而後應用到旋轉公式中Rq(v)R_q(v)Rq​(v)。

3.2 四元數旋轉運算到矩陣

令q = (u, w) = (q1, q2, q3, q4)是一個單位四元數，根據以前的公式，能夠獲得：
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上面公式的三個部分能夠分別寫出矩陣形式：
在這裏插入圖片描述
將它們相加：
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根據單位四元數的特性（各分組件平方的和爲1），作下面的簡化：
在這裏插入圖片描述
最後矩陣能夠寫爲：
在這裏插入圖片描述

3.3 矩陣到四元數旋轉運算

給出一個旋轉矩陣：
在這裏插入圖片描述
咱們但願找到四元數q = (q1, q2, q3, q4)，咱們的策略是，設置矩陣以下：
在這裏插入圖片描述
而後求解q1, q2, q3, q4；
首先將對角線上的元素相加（最終一個矩陣）：
在這裏插入圖片描述
而後組合對角相反的元素來求解q1, q2, q3：
在這裏插入圖片描述
若是q4 = 0，那上面這些公式就無心義，因此咱們要找到R的最大對角元素來除，而且選擇矩陣元素的其餘組合。加入R11是最大的對角：
在這裏插入圖片描述
若是假設R22 或者 R33爲最大對角線，計算模式相似。

3.4 組成

假設p和q是單位四元數，而且對於旋轉運算爲Rp 和 Rq，令v′=Rp(v)v^{'} = R_p(v)v′=Rp​(v)，那麼組合：
在這裏插入圖片描述
由於p和q都是單位四元數，pq的乘積也是單位四元數||pq|| = ||p||||q|| = 1；因此pq也表示旋轉；也就是說說獲得的旋轉爲：Rq(Rp(v))R_q(R_p(v))Rq​(Rp​(v))。

4 四元數的插值

由於四元數是由4個實數組成的，因此幾何上，能夠把它當作是一個4D向量，單位四元數是4D在單位4D球體表面，除了叉積（只定義了3D向量）。特別的，點積也支持四元數，令p = (u, s)而且q = (v, t)，那麼：
在這裏插入圖片描述
其中θ是兩個四元數之間的夾角，若是p和q是單位四元數，那麼p·q = cosθ，因此點積能夠幫助咱們考慮2個四元數之間的夾角。
出於動畫考慮，咱們須要在兩個方向之間進行插值，爲了插值四元數，咱們須要在單位球體上進行弧度差值，因此也須要在單位四元數上差值。爲什麼推導出公式，以下圖所示：咱們須要在a和b中間差值tθ。咱們須要找到權重c1和c2支持p = c1a + c2b，其中||p|| = ||a|| = ||b||。咱們對兩個未知項建立兩個等式：
在這裏插入圖片描述
在這裏插入圖片描述
而後能夠導出下面的矩陣：
在這裏插入圖片描述
考慮到上面的矩陣等式Ax = b，其中A是可逆的，因此根據克萊姆法則xi=detAidetAx_i = \frac{detA_i}{detA}xi​=detAdetAi​​，其中AiA_iAi​是經過交換A中第i列的向量到b，因此：
在這裏插入圖片描述
根據三角畢達哥斯拉定義和加法公式，咱們能夠得出：
在這裏插入圖片描述
因此：
在這裏插入圖片描述
而且：
在這裏插入圖片描述
因此咱們定義出球體差值公式：
在這裏插入圖片描述

若是將單位四元數當作4D向量的話，咱們就能夠求解四元數之間的夾角：θ = arccos(a · b)。
若是a和b之間的夾角趨近於0，sinθ趨近於0，那麼上面公式中的除法就會引起問題，會致使無限大的結果。這種狀況下，對兩個四元數進行線性差值，並標準化結果，就是對小θ的一個很好的近似：
在這裏插入圖片描述
觀察下圖，線性差值是經過將四元數差值投影回單位球體，其結果是一個非線性速率的旋轉。因此若是你對大角度使用線性差值的話，旋轉的速度會時快時慢。
在這裏插入圖片描述
咱們如今支持一個四元數有趣的特性，(sq)= sq而且標量-四元數的乘積是具備交換律的，因此咱們能夠得出：
在這裏插入圖片描述
咱們得出q和-q表示的相同的旋轉，也能夠經過其餘方式來證實，若是
在這裏插入圖片描述
在這裏插入圖片描述
Rq表示圍繞n旋轉θ，R-q表示圍繞-n旋轉2π − θ。在幾何上，一個在4D單位球體上的單位四元數和它的極座標相反值−q表明的是相同的方向。下圖能夠看出，這兩個旋轉到了相同的位置，只是一個旋轉了小角度，另外一個旋轉了大的角度：
在這裏插入圖片描述
因此b和-b表達了相同的方向，咱們有2個選擇來差值：slerp(a, b, t) 或者 slerp(a, −b, t)。其中一個是從更小的角度直接旋轉；另外一個是從更大的角度來旋轉。以下圖所示，選擇哪一個旋轉基於哪一個旋轉在單位球體上的弧度：選擇小弧度表明選擇了更直接的路徑，選擇更長的弧度表明對物體有額外更多的旋轉[Eberly01]。
[Watt92]若是要在單位球面上找到四元數最短旋轉弧度，咱們能夠比較||a – b||2和||a – (−b)||2 = ||a + b||2。若是 ||a + b||2 < ||a – b||2咱們就選擇-b，由於-b更接近a：
在這裏插入圖片描述

// Linear interpolation (for small theta).
public static Quaternion LerpAndNormalize(Quaternion p, Quaternion q, float s)
{
	// Normalize to make sure it is a unit quaternion.
	return Normalize((1.0f - s)*p + s*q);
}

public static Quaternion Slerp(Quaternion p, Quaternion q, float s)
{
	// Recall that q and -q represent the same orientation, but
	// interpolating between the two is different: One will take the
	// shortest arc and one will take the long arc. To find
	// the shortest arc, compare the magnitude of p-q with the
	// magnitude p-(-q) = p+q.
	if(LengthSq(p-q) > LengthSq(p+q))
		q = -q;
		
	float cosPhi = DotP(p, q);
	
	// For very small angles, use linear interpolation.
	if(cosPhi > (1.0f - 0.001))
		return LerpAndNormalize(p, q, s);
		
	// Find the angle between the two quaternions.
	float phi = (float)Math.Acos(cosPhi);
	float sinPhi = (float)Math.Sin(phi);
	
	// Interpolate along the arc formed by the intersection of the 4D
	// unit sphere and the plane passing through p, q, and the origin of
	// the unit sphere.
	return ((float)Math.Sin(phi*(1.0- s))/sinPhi)*p + ((float)Math.Sin(phi*s)/sinPhi)*q;
}

5 DIRECTX MATH四元數函數

DirectX數學庫支持四元數。由於四元數的數據是4個實數，因此使用XMVECTOR類型類保存四元數。下面是通用的函數：

// Returns the quaternion dot product Q1·Q2.
XMVECTOR XMQuaternionDot(XMVECTOR Q1, XMVECTOR Q2);

// Returns the identity quaternion (0, 0, 0, 1).
XMVECTOR XMQuaternionIdentity();

// Returns the conjugate of the quaternion Q.
XMVECTOR XMQuaternionConjugate(XMVECTOR Q);

// Returns the norm of the quaternion Q.
XMVECTOR XMQuaternionLength(XMVECTOR Q);

// Normalizes a quaternion by treating it as a 4D vector.
XMVECTOR XMQuaternionNormalize(XMVECTOR Q);

// Computes the quaternion product Q1Q2.
XMVECTOR XMQuaternionMultiply(XMVECTOR Q1, XMVECTOR Q2);

// Returns a quaternions from axis-angle rotation representation.
XMVECTOR XMQuaternionRotationAxis(XMVECTOR Axis, FLOAT Angle);

// Returns a quaternions from axis-angle rotation representation, where the axis
// vector is normalized—this is faster than XMQuaternionRotationAxis.
XMVECTOR XMQuaternionRotationNormal(XMVECTOR NormalAxis,FLOAT Angle);

// Returns a quaternion from a rotation matrix.
XMVECTOR XMQuaternionRotationMatrix(XMMATRIX M);

// Returns a rotation matrix from a unit quaternion.
XMMATRIX XMMatrixRotationQuaternion(XMVECTOR Quaternion);

// Extracts the axis and angle rotation representation from the quaternion Q.
VOID XMQuaternionToAxisAngle(XMVECTOR *pAxis, FLOAT *pAngle, XMVECTOR Q);

// Returns slerp(Q1, Q2, t)
XMVECTOR XMQuaternionSlerp(XMVECTOR Q0, XMVECTOR Q1, FLOAT t);

6 旋轉Demo

本章中的Demo，咱們在簡單的場景中運動一個骷髏頭。位置、方形和縮放都作動畫。咱們用四元數來表達骷髏的方向，而後使用球面差值來對方向差值。使用線性差值對位置和縮放差值。它是對下一章中的角色動畫作預熱。
咱們使用關鍵幀系統對骷髏作動畫：

struct Keyframe
{
	Keyframe();
	˜Keyframe();
	float TimePos;
	XMFLOAT3 Translation;
	XMFLOAT3 Scale;
	XMFLOAT4 RotationQuat;
};

動畫是一些列經過實踐來排序的關鍵幀:

struct BoneAnimation
{
	float GetStartTime()const;
	float GetEndTime()const;
	void Interpolate(float t, XMFLOAT4X4& M)const;
	std::vector<Keyframe> Keyframes;
};

GetStartTime函數用來返回第一個幀的時間；GetEndTime函數返回最後一個關鍵幀的時間。它對於動畫何時結束頗有用，咱們能夠中止動畫。
如今有了一個關鍵幀列表，對於每兩個幀之間使用插值計算：

void BoneAnimation::Interpolate(float t, XMFLOAT4X4& M)const
{
	// t is before the animation started, so just return the first key frame.
	if( t <= Keyframes.front().TimePos )
	{
		XMVECTOR S = XMLoadFloat3(&Keyframes.front().Scale);
		XMVECTOR P = XMLoadFloat3(&Keyframes.front().Translation);
		XMVECTOR Q = XMLoadFloat4(&Keyframes.front().RotationQuat);
		XMVECTOR zero = XMVectorSet(0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f);
		XMStoreFloat4x4(&M, XMMatrixAffineTransformation(S, zero, Q, P));
	}
	
	// t is after the animation ended, so just return the last key frame.
	else if( t >= Keyframes.back().TimePos )
	{
		XMVECTOR S = XMLoadFloat3(&Keyframes.back().Scale);
		XMVECTOR P = XMLoadFloat3(&Keyframes.back().Translation);
		XMVECTOR Q = XMLoadFloat4(&Keyframes.back().RotationQuat);
		XMVECTOR zero = XMVectorSet(0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f);
		XMStoreFloat4x4(&M, XMMatrixAffineTransformation(S, zero, Q, P));
	}
	
	// t is between two key frames, so interpolate.
	else
	{
		for(UINT i = 0; i < Keyframes.size()-1; ++i)
		{
			if( t >= Keyframes[i].TimePos && t <= Keyframes[i+1].TimePos )
			{
				float lerpPercent = (t - Keyframes[i].TimePos) /
					(Keyframes[i+1].TimePos - Keyframes[i].TimePos);
					
				XMVECTOR s0 = XMLoadFloat3(&Keyframes[i].Scale);
				XMVECTOR s1 = XMLoadFloat3(&Keyframes[i+1].Scale);
				XMVECTOR p0 = XMLoadFloat3(&Keyframes[i].Translation);
				XMVECTOR p1 = XMLoadFloat3(&Keyframes[i+1].Translation);
				XMVECTOR q0 = XMLoadFloat4(&Keyframes[i].RotationQuat);
				XMVECTOR q1 = XMLoadFloat4(&Keyframes[i+1].RotationQuat);
				XMVECTOR S = XMVectorLerp(s0, s1, lerpPercent);
				XMVECTOR P = XMVectorLerp(p0, p1, lerpPercent);
				XMVECTOR Q = XMQuaternionSlerp(q0, q1, lerpPercent);
				XMVECTOR zero = XMVectorSet(0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f);
				XMStoreFloat4x4(&M, XMMatrixAffineTransformation(S, zero, Q, P));
				
				break;
			}
		}
	}

下圖展現了兩個關鍵幀之間插值的結果：
在這裏插入圖片描述
插值事後，咱們構造了變換的矩陣，由於在着色器中咱們最終使用矩陣作變換。XMMatrixAffineTransformation函數定義以下：

XMMATRIX XMMatrixAffineTransformation(
	XMVECTOR Scaling,
	XMVECTOR RotationOrigin,
	XMVECTOR RotationQuaternion,
	XMVECTOR Translation);

如今咱們簡單的動畫系統已經完成，下一步是定義一些關鍵幀：

// Member data
float mAnimTimePos = 0.0f;
BoneAnimation mSkullAnimation;

//
// In constructor, define the animation keyframes
//
void QuatApp::DefineSkullAnimation()
{
	//
	// Define the animation keyframes
	//
	XMVECTOR q0 = XMQuaternionRotationAxis(XMVectorSet(0.0f, 1.0f, 0.0f, 0.0f),
		XMConvertToRadians(30.0f));
	XMVECTOR q1 = XMQuaternionRotationAxis(XMVectorSet(1.0f, 1.0f, 2.0f, 0.0f),
		XMConvertToRadians(45.0f));
	XMVECTOR q2 = XMQuaternionRotationAxis(XMVectorSet(0.0f, 1.0f, 0.0f, 0.0f),
		XMConvertToRadians(-30.0f));
	XMVECTOR q3 = XMQuaternionRotationAxis(XMVectorSet(1.0f, 0.0f, 0.0f, 0.0f),
		XMConvertToRadians(70.0f));
		
	mSkullAnimation.Keyframes.resize(5);
	mSkullAnimation.Keyframes[0].TimePos = 0.0f;
	mSkullAnimation.Keyframes[0].Translation = XMFLOAT3(-0.0f, 0.0f);
	mSkullAnimation.Keyframes[0].Scale = XMFLOAT3(0.25f, 0.25f, 0.25f);
	XMStoreFloat4(&mSkullAnimation.Keyframes[0].RotationQuat, q0);
	
	mSkullAnimation.Keyframes[1].TimePos = 2.0f;
	mSkullAnimation.Keyframes[1].Translation = XMFLOAT3(0.0f, 2.0f, 10.0f);
	mSkullAnimation.Keyframes[1].Scale = XMFLOAT3(0.5f, 0.5f, 0.5f);
	XMStoreFloat4(&mSkullAnimation.Keyframes[1].RotationQuat, q1);
	
	mSkullAnimation.Keyframes[2].TimePos = 4.0f;
	mSkullAnimation.Keyframes[2].Translation = XMFLOAT3(7.0f, 0.0f, 0.0f);
	mSkullAnimation.Keyframes[2].Scale = XMFLOAT3(0.25f, 0.25f, 0.25f);
	XMStoreFloat4(&mSkullAnimation.Keyframes[2].RotationQuat, q2);
	
	mSkullAnimation.Keyframes[3].TimePos = 6.0f;
	mSkullAnimation.Keyframes[3].Translation = XMFLOAT3(0.0f, 1.0f, -10.0f);
	mSkullAnimation.Keyframes[3].Scale = XMFLOAT3(0.5f, 0.5f, 0.5f);
	XMStoreFloat4(&mSkullAnimation.Keyframes[3].RotationQuat, q3);
	
	mSkullAnimation.Keyframes[4].TimePos = 8.0f;
	mSkullAnimation.Keyframes[4].Translation = XMFLOAT3(-0.0f, 0.0f);
	mSkullAnimation.Keyframes[4].Scale = XMFLOAT3(0.25f, 0.25f, 0.25f);
	XMStoreFloat4(&mSkullAnimation.Keyframes[4].RotationQuat, q0);
}

在這裏插入圖片描述
最後一步使根據時間進行插值操做：

void QuatApp::UpdateScene(float dt)
{
	…
	// Increase the time position.
	mAnimTimePos += dt;
	
	if(mAnimTimePos >= mSkullAnimation.GetEndTime())
	{
		// Loop animation back to beginning.
		mAnimTimePos = 0.0f;
	}
	
	// Get the skull’s world matrix at this time instant.
	mSkullAnimation.Interpolate(mAnimTimePos, mSkullWorld);
	…
}

如今骷髏的世界矩陣每一幀都根據動畫來更新。

7 總結

  1. 一個有序的4個實時q = (x, y, z, w) = (q1, q2, q3, q4)是一個四元數，通常都簡寫成q = (u, w) = (x, y, z, w)，而且咱們將u = (x, y, z)稱爲虛向量部分，w爲實數部分，進一步它的加減乘除定義爲：
    在這裏插入圖片描述

  2. 四元數乘法不知足交換律，可是知足結合律，四元數e = (0, 0, 0, 1)用以恆等式。四元數支持乘法分配律p(q + r) = pq + pr和(q + r)p = qp + rp；

  3. 咱們能夠將任意實數寫成四元數s = (0, 0, 0, s)，也能夠將任意向量轉換成四元數u = (u, 0)。實數部分爲0的四元數爲純四元數。四元數能夠和標量相乘：s(p1, p2, p3, p4) = (sp1, sp2, sp3, sp4) = (p1, p2, p3, p4)s，特殊的地方在於標量和四元數的乘法支持交換律；

  4. 共軛四元數和四元數範式的定義；

  5. 逆四元數的定義和計算；

  6. 單位四元數能夠寫成極向量表達q = (u, q4)，其中n是單位向量；

  7. 若是q是一個單位四元數，那麼q = (sinθn,cosθ) for ||n|| = 1 and θ ∈ [0, π]，旋轉運算爲Rq(v)=qvq−1=qvq∗R_q(v) = qvq^{-1} = qvq^*Rq​(v)=qvq−1=qvq∗表示將點/向量圍繞n旋轉2θ。Rq有矩陣表達，任何旋轉矩陣均可以轉換成四元數用來表達旋轉；

  8. 咱們可使用球面插值來對兩個用單位四元數表示的方向進行插值。

8 練習

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