單變量微積分筆記31——冪級數和泰勒級數

　　實際應用中，老是會出現一堆複雜的函數，這類函數每每令物理學家和數學家都十分頭疼。爲了解決這一窘境，泰勒想：會不會存在一種方法，把一切函數表達式都轉化爲多項式函數來近似呢？這樣，處理問題不就變得簡單了嗎？通過泰勒夜以繼日的奮鬥，終於研究出了泰勒級數的理論。它將一切函數，不論表達式有多麼多麼的複雜，只有能保證n階導數存在，就能將它的局部用多項式展開。泰勒級數在近似計算中有重要做用。實際上，利用多項式函數近似（或者稱做逼近）一個複雜函數，是研究實際問題的一個很是重要的思想。

冪級數與幾何級數

冪級數

　　冪級數是這樣表示的：

 

　　有人說必需要寫成∑形式，別信他的，只要能準確表達意思就好。

幾何級數

　　當a_n是定值時，冪級數稱爲幾何級數。

　　上篇文章中提到過，當a_n = 1時：

收斂半徑

　　以a_n = 1的幾何級數爲例，x的取值範圍（-1 < x < 1）稱爲收斂半徑，用R表示。在收斂半徑內，冪級數是收斂的；在收斂半徑外，冪級數是發散的；若是|x| = R，冪級數的收斂性不肯定。根據該定義，若是x < |R|，則必然有|a_nxⁿ|→0，也就是：

 

　　將收斂半徑當作一個圓，x的取值點若是在圓內，則冪級數是收斂的，在圓外則是無心義的。咱們能夠計算圓的大小，正以下面的示例，圓甚至多是無窮大。

　　示例，計算下列冪級數的收斂半徑：

 　　

　　1）

 

　　當x < 2時極限小於1，因此收斂半徑是R = 2。能夠看出，當x < 2時，這是一個a_n = 1的常規幾何級數，其值是1/(1 - x)，就是最開始介紹的公式。

　　2）這裏存在a_n，a_n = n!

 

　　對於任意x，冪級數都是收斂的，其收斂半徑是∞

　　3）

 

　　當x < 2時極限小於1，因此收斂半徑是R = 2。

　　4）

 

　　對於任意x，冪級數都是收斂的，其收斂半徑是∞

冪級數的運算

 

　　以上面的冪級數爲例，它的意義之一就在於它能夠反寫右側的表達式，即：

 

　　這樣，冪級數就變成了一個靈活的工具，他可以將一個表達式展開。能夠將冪級數看做沒有盡頭的多項式，全部適用於多項式的運算，包括加減乘除乘方開方等，都一樣適用於冪級數，固然，還有咱們關注的微分和積分，以下所示：

 

　　示例

　　很容易算出下面的積分：

 

　　如今咱們試圖用冪級數去計算：

 

　　由此也獲得了一個副產品，就是ln(x + 1)的解釋：

 

泰勒級數

泰勒公式

　　若是f(x)在點x = x₀具備任意階導數，則下面的冪級數稱爲f(x)在x₀點的泰勒級數：

 

　　在泰勒公式中，x處於收斂半徑內部，即|x| < R，取x₀ = 0點，獲得級數：

 

　　上式表示對f進行n次求導以後，在零點的值，除以n的階乘再乘以xⁿ。

　　實際上，在泰勒公式中，咱們定義了

 

　　如今來看看泰特公式爲何成立。

 

　　以三階導數爲例：

 

　　推廣到n階導數：

 

 

泰勒公式的應用

　　泰勒公式是一個用函數在某點的信息描述其附近取值的公式。若是函數足夠平滑的話，在已知函數在某一點的各階導數值的狀況之下，泰勒公式能夠用這些導數值作係數構建一個多項式來近似函數在這一點的鄰域中的值。

　　以下圖所示，假設汽車沿着一個方向行駛，車輛的位移S是關於時間t的函數，咱們知道在t = 0時刻（能夠理解爲0點）位移是S₀，如今想要知道t = 1時刻（凌晨1點）車輛的位置：

 

e^x

　　f(x) = e^x是一個能夠用泰勒公式展開的例子。

 

　　當x = 1時，還附帶獲得了e的解釋：

多項式的泰勒展開式

　　求解泰勒級數3x³ + 4x² – 2x + 1

　　由此能夠看出，多項式的泰勒級數就是多項式自己。

冪級數的展開

示例1

　　展開1/(1 + x)

　　因爲已經知道幾何級數1/(1 – x)的展開式，因此能夠直接寫出答案：

　　1/(1 + x) = 1 – x + x² – x³ + …  (R = 1)

示例2

　　展開sin(x)

　　這須要動用泰勒公式。

       　　                           sin(0) = 0

　　sin’(x) = cos(x),         cos(0) = 1

　　sin’’(x) = -sin(x),      -sin(0) = 0

　　sin’’’(x) = -cos(x),     -cos(0) = -1

　　sin⁽⁴⁾(x) = sin(x),        sin(0) = 0

　　……

　　根據泰勒公式：

　　因爲|a_nxⁿ|→0，因此R = ∞

示例3

　　展開cos(x)

　　同上，

示例4

　　展開xsin(x)

展開的意義

　　先來看一個很難處理的積分，對正態分佈進行積分：

 

　　因爲被積函數與e^x類似，咱們又已經知道e^x的展開式，因此能夠進行下面的變換：

 

　　很容易計算右側的積分。

　　這個例子展現了冪級數展開的意義——把質的困難轉化成量的複雜。展開前求解函數的值很困難，展開後是冪函數的線性組合，雖然有不少不少項，可是每一項都是冪函數，所以每一項都容易求解。因而只要對展開後的函數求和，就能獲得展開前的函數的值。

綜合示例

示例1

求解泰勒級數

　　

　　1)

 

　　2)

 

　　三階導數的計算會很是麻煩，最好放棄，尋找其它方法。

　　ln(1 – x³)和ln(1+ x)很是類似，已經知道ln(1 + x)的結果：

 

　　如今用– x³代替x：

 

示例2

　　求解泰勒級數的積分 f(x) = 1 + 2x +3 x² + 4x³ + 5x⁴ + …

　　取C = 1，當 |x| < 1時，積分的結果是幾何級數：

  

　　因此當|x| < 1時，還可獲得副產物：

示例3

 　　

　　看起來就很難對付。

　　仔細觀察後會發現兩個突破口，第一個是求和後求極限，這會聯想到黎曼和；第二個是經過求和公式聯想到某個函數的展開式，若是找到原函數，就能求解積分。順着這個思路，因爲2/n反覆出現，n→∞時，2/n→0，因此可將2/n看做Δx，因而和式就能夠寫成：

　　若是令f(x) = (2i/n)² – 1，那麼：

　　由此能夠推測，x = 2i/n = iΔx，f(x) = x² – 1。

　　用n = 4驗證，當n = 4時，Δx = 2/4 = 1/2：

 

　　n→∞時，i = n -1，2i/n→2，最終：

 

 

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 　　做者：我是8位的

　　出處：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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