【微積分】 01 - 數學的屠龍刀

　　說到微積分，全部人都不陌生，上過大學的人基本都被它上過，每學期都有無數人掛在那棵高高的樹上……。文科生在《大學數學》裏窺探了它的容顏，工科生在《高等數學》裏與它邂逅，而理科生則在《數學分析》中看清了它的真面目。但說實話，相比較其它抽象的數學學科，微積分算是很是直白的了，它研究的對象也是也是咱們直觀能感覺的。之因此你們以爲困難，其實仍是沒有養成「問題式」的學習習慣，而只是一味地試圖去理解並記憶。

　　我在博客中也一直強調，任何數學學科其實就是：（1）抽象出要討論的對象並對之嚴格定義；（2）分析對象要討論的基本問題，並從定義出發思考解決；（3）將對象、方法和結論推廣到更通常的場景中。這實際上是數學學習、研究的基本素養，拋開公式定理去討論基本問題，你會發現通常教材中不會出現不少艱深的理論，而只是一些基本問題的基本結論罷了。

　　好了，咱們說回微積分，嚴格說它被分爲微分學（Differentiation）和積分學（Integration），它們之間原本是風馬牛不相及的，但自從牛頓、萊布尼茲將它們牽手後，微分、積分就白頭偕老、長相廝守了。積分思想出現地很是早，它其實就是將總體當作是無數的分塊拼湊而成。早在古希臘時代，萬能的阿基米德就利用積分思想解決了不少求面積、體積的問題，他墓碑上的球和圓柱，就是爲了記念他引覺得豪的結論。可是爲了避開「無窮」和「極限」的概念，在得出結論後，阿基米德使用了其它方法來論證。

　　在文藝復興時期，代數學的成熟、解析學和函數的發展，已經提出並研究了很是多的實際問題，微分的思想也已是你們熟知的方法。後來你們都知道了，牛頓、萊布尼茲幾乎同時發現了微積分的關係，今後這門學科便算是產生了。至於牛、萊二人那場致使英國與歐洲大陸決裂的撕逼大戰，你能夠在網上找到它的詳細內容，讀來也頗爲有趣。這種優先權的論戰，在數學史上其實家常便飯，有些數學思想到了該破殼而出的時候，有多我的同時發現它也並不奇怪。咱們如今沿用的是萊布尼茨的符號體系，它更能準確表達微積分的思想。

                         

   Newton（1643-1727）                          Leibniz（1646-1716）

　　牛頓、萊布尼茲完成了奠定儀式後，接下來的一百年微積分的發展幾乎一手遮天，它不只內容豐富、涵蓋普遍，並且在各領域都獲得了重要的應用。微積分的發現開啓了現代數學的序幕，那一百年被稱爲是「英雄的年代」，由於有大片的疆域被髮掘，而且還有更多的寶藏處露端倪。歷史上涌現出了大批了優秀數學家，歐拉、伯努利家族、法國學派等無數大牛築建了微積分的宏偉大廈。

　　但激情事後老是一股莫名的空虛，由於人們對那鬼魅同樣的「無窮小」已經沒法忍受，必須對它給出一個嚴格的定義。由此，微積分的瘋狂發展也是伴隨着「第二次數學危機」一同前進的，直到十九世紀初「極限」理論的提出人們才把這顆不安的心放下。這就又回到了以前《集合論》和《實數系統》的課程，也正是有了這兩個攔路虎，我才遲遲沒有拿起微積分的書。關於微積分概念和思想的發展史，最詳盡透徹的當屬參考資料[10]，學習歷史對數學一樣重要。

　　在解決了基本的問題後，微積分還衍生出了不少獨立的分支：微分方程、向量分析、複分析等等，這些學科每每被統稱爲分析數學（Analysis），它是數學最大的一個分支。在近代數學大融合的時期，數學分析更是在其它不相干的分支裏，發揮着使人驚歎的做用。固然咱們仍是稍安勿躁，本篇博客我只打算學習微積分的基本內容，僅包括一元微積分、多元微積分、級數理論三大塊。通常的微積分和數學分析教材都以這些內容爲主體，但也會介紹一些擴展性的知識，那些內容被我劃分到了其它分支裏，這裏將不做介紹。

　　如今愈來愈感到，想要面面俱到幾乎是不可能的。原來想參考更多的資料，以使得博客內容更加全面、更有高度，但精力實在是不夠。每每是參考一兩本書後就開始寫了，那也沒辦法，只能說等之後回頭來慢慢精進了。知識和思想原本就不是一簇而就的，心再大也仍是要腳踏實地，列這些參考書也是給本身一個提醒。

 

　　本系列目錄

　　　　02 - 連續和導數

　　　　03 - 一元微分

　　　　04 - 一元積分 

　　　　05 - 多元微分

　　　　06 - 重積分

　　　　07 - 微積分的應用 

　　　　08 - 數項級數

　　　　09 - 函數項級數

　　　　10 - 廣義積分

　　博客總目錄在這裏

 

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【前序學科】 實數系統、解析幾何

【參考資料】

[1] 《微積分教程（一~三）》（8th），菲赫金哥爾茨，2006

　　微積分教父級的教程，雖然年代比較久遠，但其經典地位至今仍然沒法撼動，國內幾乎全部的教材都是以它爲藍本的，內容豐富全面，篇幅巨大。大量的例題和應用舉例，理論和應用結合緊密。

[2] 《數學分析教程（上、下）》，許紹縛, 宋國柱，2000

　　這是我本科時使用的教材，由任課老師撰寫，雖然名氣不大，但我的很是推崇，也是本博客的主要參考書。教材行文嚴謹、編排合理、論證深刻淺出，涵蓋了數學分析中基礎且重要的結論，而且對部份內容有擴展介紹。課本精選了不少例題和習題，難度分佈合理，值得仔細思考和研習。

[3] 《數學分析（一~三）》，伍勝健，2009

[4] 《數學分析（一~三）》，徐森林，2005

[5] 《數學分析教程（一~三）》，常庚哲，2003

[6] 《數學分析（上、下）》，歐陽光中，2007

[7] 《數學分析（上、下）》，陳紀修，2003

　　這幾套也是國內比較優秀的教材，能夠按本身的喜愛選擇。

[8] 《數學分析講義（一~三）》，陳天權，2010

　　這本教材更偏重高級內容，大量篇幅延伸到後續的學科，能夠選擇進階閱讀。

[9] 《吉米多維奇數學分析習題集題解（1~6）》（4th），費定暉，2012

　　蘇聯人寫的習題集，你懂的：題量巨大。它也是數學分析最著名的一本習題集，通往分析學科研必作的一套，老師跟咱們說田剛作過一遍。對於普通學生，最好仍是挑一些練練手好了，並且作題最好不要看答案。有部分題目十分難，難到出書的人都不會。

[10] 《微積分概念發展史》（The History of the Calculus and Tts Conceptual Development），B.B. Boyer，2007

　　很是老但卻十分經典的微積分思想史，書中更偏重介紹數學思想的進化史。內容有必定深度，而不是一本故事書，故需先有學科基礎，對提升數學的認知很是有幫助。

[11] 《Introduction to Calculus and Analysis》，R. Courant，1965

　　一本不錯的國外教材，由大師科朗所寫。