【微積分】 07 - 微積分的應用

1. 微分的應用

1.1 一元函數的微分

1.1.1 單調性、極值、漸近線

　　導數給出了函數的走向，它對咱們分析函數的圖形性質頗有做用，這裏就用微分學的知識來了解函數的性質。一階導數對函數的影響是最直接的，這裏先看一階導數。對於區間上的常值函數\(f(x)=C\)，它的導數到處爲零，反之由中值定理知，導數恆爲零的函數爲常值，故函數在區間上\(f(x)=0\)的充要條件是\(f'(x)=0\)。這個結論還說明了導數相同的函數的差函數爲常數，這對在證實函數相等頗有用，好比能夠證實\(3\arccos{x}-\arccos{3x-4x^2}=\pi\)。

　　利用中值定理容易證實，區間上函數一定單調上升（降低）的充要條件是\(f'(x)\geqslant 0\)（\(f'(x)\leqslant 0\)）。當等號不成立時，函數仍是嚴格單調上升（降低）的。在部分點等號成立時，利用反證法可知，只要等號不在一個區間恆成立，函數也是嚴格單調上升（降低）的。

　　咱們已經知道，對任意函數\(f(x)\)，若是\(x_0\)是極值點，則有\(f'(x_0)=0\)。反之則不必定（好比\(x^3\)的零點），使得\(f'(x_0)=0\)的點\(x_0\)通常稱爲靜止點。若是在\(x_0\)的領域內可導，則兩側的導數同號時爲通常靜止點，異號時爲極值點（且根據具體狀況可斷定極大仍是極小）。通常地，若是\(f'(x_0)=f''(x_0)=\cdots=f^{(n-1)}(x_0)=0\)，但\(f^{(n)}\ne 0\)，則由泰勒公式知式（1）成立。進而能夠證實，\(n\)爲奇數時\(x_0\)是通常靜止點，\(n\)爲偶數時，若\(f^{(n)}>0\)則\(x_0\)是極小點，若\(f^{(n)}<0\)則\(x_0\)是極大點。

\[f(x)=f(x_0)+\dfrac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)\tag{1}\]

　　有了以上結論，咱們就能畫出函數的大體曲線，只要弄清楚零點、單調性便可。另外有時還會有漸近線，它其實就是如下三種狀況之一：（1）\(x\to x_0\)時\(f(x)\to\infty\)；（2）\(x\to\infty\)時\(f(x)\to y_0\)；（3）式（2）分別存在有限極限。前兩個分別以\(x=x_0\)和\(y=y_0\)爲漸近線，第三個以\(y=ax+b\)爲漸近線。

\[\lim\limits_{x\to\infty}{\dfrac{f(x)}{x}}=a;\quad \lim\limits_{x\to\infty}{[f(x)-ax]}=b\tag{2}\]

1.1.2 凸函數

　　最後來看二階導數在函數圖形上的體現，導數能夠看作是曲線的切線斜率，那麼二階導數則可刻畫了斜率的變化。能夠想象，當\(f''(x)>0\)時函數曲線上凸，而當\(f''(x)<0\)時函數曲線下凸。如何嚴格地表述這樣的曲線？能夠這樣說，鏈接曲線上任意兩點造成直線，這兩點間的函數值都在直線一側。受此啓發，定義在任意點式（3）都成立的函數爲下凸（上凸）函數，等號不成立時也叫嚴格下凸（上凸）函數。

\[f(tx_1+(1-t)x_2)\leqslant(\geqslant)tf(x_1)+(1-t)f(x_2),\quad(0<t<1)\tag{3}\]

　　以上凸函數的定義中並未假定函數可導，因此很差描述導數的性質，爲此換作觀察曲線上變化割線的性質。具體來說，好比對下凸函數，設\(x_1<x_2<x_3\)，利用定義容易證實式（4）成立它們還能夠做爲凸函數的等價定義。右邊的不等式說明任意點\(x_0\)右側，\(\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)隨着\(x\to x_0\)單調減少，但左邊的不等式又說明它是有下界的，從而\(x_0\)存在右極限（或極限爲無窮）。一樣可證\(x_0\)存在左極限（或極限爲無窮），固然，若是\(x_0\)是端點，其中只有一個成立。當\(x_0\)是區間內點時，顯然\(f(x)\)在\(x_0\)處連續。

\[\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\leqslant\dfrac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2};\quad\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\leqslant\dfrac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}\tag{4}\]

　　其實凸函數不必定可導，好比\(V\)字形的\(f(x)=|x|\)是下凸函數，但在\(x_0\)不可導。當\(f(x)\)可導時，容易證實\(f(x)\)下凸（上凸）的充要條件是，\(f'(x)\)單調上升（降低）。這個充要條件還等價於：曲線在它任何一條切線的上方。若\(f(x)\)二階可導，還能夠證實，\(f(x)\)下凸（上凸）的充要條件是\(f''(x)\geqslant 0\)（\(f''(x)\leqslant 0\)）。這些比較直觀，證實也很簡單，請自行論證。

　　上面的結論說明，若是\(f''(x)\)連續且\(f''(x_0)=0\)，而在領域內\(f''(x)\ne 0\)，可見\(f(x)\)在\(x_0\)左右兩側分別爲上、下凸函數，因此曲線在\(x_0\)左右領域內分別在\(x_0\)切線的兩側。更通常的，若是\(f(x)\)在\(x_0\)處可導，且左右領域的點分別落在切線的兩側，則稱\(x_0\)爲\(f(x)\)的拐點。

　　式（3）對二階可導的凸函數還有進一步推廣，設\(\sum\limits_{k=1}^n{p_k}=1,(p_k>0)\)，且記\(X=\sum\limits_{k=1}^n{x_k}\)。對下凸函數\(f(x)\)可有式（5）成立，\(n\)個式子乘上\(p_k\)相加便有式（6）成立。凸函數的這個結論，能夠用來很容易地證實一些不等式，好比令\(f(x)=\ln{x},\,p_k=\dfrac{1}{n}\)，能夠證實\(\prod x_k\leqslant \dfrac{1}{n}\sum x_k\)。

\[f(x_k)=f(X)+f'(X)(x_k-X)+\frac{1}{2}f"(\xi)(x-X)^2\geqslant f(X)+f'(X)(x_k-X)\tag{5}\]

\[\sum\limits_{k=1}^n{p_kf(x_k)}\geqslant f\left(\sum\limits_{k=1}^n{p_kx_k}\right)\tag{6}\]

1.2 多元函數的微分

1.2.1 切線、法平面

　　如今利用微分的方法複習空間的點線面，請先複習空間解析幾何的基本內容。空間曲線的表達式，最簡單的就是參數方程\(x=x(t),y=y(t),z=z(t)\)，一階連續導數\((x'(t),y'(t),z'(t))\)肯定了曲線在\((x(t),y(t),z(t))\)處的切矢量\(\vec{T}\)，切線連續變化的曲線稱爲光滑曲線。曲線還有可能表示爲兩個曲面的交集（式（7）左），利用向量值函數隱函數的結論可獲得切矢量\((1,y'_x(x),z'_x(x))\)，約去分母便得式（7）右。

\[\left\{\begin{matrix}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{matrix}\right.\quad\Rightarrow\quad \vec{T}=\left(\,\dfrac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)},\:\dfrac{\partial(F,G)}{\partial(z,x)},\:\dfrac{\partial(F,G)}{\partial(z,y)}\,\right)\tag{7}\]

　　如今來看空間的曲面\(F(x,y,z)=0\)，若是\(F'_x,F'_y,F_z\)都連續，它被稱爲光滑曲面。考察曲面上通過\((x_0,y_0,z_0)\)的任意曲線，帶入曲面方程有\(F(x(t),y(t),z(t))=0\)，由曲面的可微性易知曲線光滑，對\(t\)求導得式（8）。該式代表全部曲線在\((x_0,y_0,z_0)\)處的切線在同一平面上，這個平面被稱爲曲面在點\((x_0,y_0,z_0)\)的法平面，它的法向量爲\((F'_x,F'_y,F'_z)\)所示。曲面還多是用式（9）左邊的參數方程表示的，用前二者能夠肯定隱函數\(u(x,y),v(x,y)\)。帶入第三個式子就獲得曲面表達式，算出法向量後約去分母即可導法向量（式（9）右）。

\[F'_x(x_0,y_0,z_0)x'_t(t_0)+F'_y(x_0,y_0,z_0)y'_t(t_0)+F'_z(x_0,y_0,z_0)z'_t(t_0)=0\tag{8}\]

\[\left\{\begin{matrix}x=x(u,v)\\y=y(u,v)\\z=z(u,v)\end{matrix}\right.\quad\Rightarrow\quad \vec{T}=\left(\,\dfrac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)},\:\dfrac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)},\:\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\,\right)\tag{9}\]

1.2.2 曲率

　　不知你有沒有注意，平面曲線的二階導數雖然表示斜率的變化速度，但因爲斜率不與角度成正比，二階導數其實並不能反映曲線的彎曲程度。要準確的度量曲線的彎曲程度，咱們必須考察角度自己的變化率，具體講就是在某點\(M_0\)切線角度\(\alpha\)相比長度\(s\)的變化率。若是式（10）的極限存在，則稱\(k\)爲點\(M_0\)的曲率，而\(\dfrac{1}{k}\)稱爲曲率半徑。

\[k=\left|\dfrac{\text{d}\alpha}{\text{d}s}\right|=\left|\lim\limits_{\varDelta s\to 0}\dfrac{\varDelta\alpha}{\varDelta s}\right|\tag{10}\]

　　若是曲線以參數方程\(x(t),y(t)\)表示，首先有\(\text{d}s=\sqrt{{x'_t}^2+{y'_t}^2}\text{d}t\)，再由\(\alpha=\arctan{\dfrac{y'_t}{x'_t}}\)也容易獲得\(\text{d}\alpha\)，從而容易有曲率的表達式（11），後者是座標方程\(y=y(x)\)下的結果。對於極座標方程\(r=r(\theta)\)，能夠寫成參數方程\(x=r(\theta)\cos{\theta},y=r(\theta)\sin{\theta}\)，帶入式（11）可得式（12）。特別地，對於圓\(r=r_0\)，易知其曲率半徑就是\(r_0\)。

\[k=\dfrac{|x'_ty''_{t^2}-x''_{t^2}y'_t|}{({x'_t}^2+{y'_t}^2)^{\frac{3}{2}}}=\dfrac{|y''_{x^2}|}{(1+{y'_x}^2)^{\frac{3}{2}}}\tag{11}\]

\[r=r(\theta)\quad\Rightarrow\quad k=\dfrac{|r^2+2{r'_{\theta}}^2-rr''_{\theta^2}|}{(r^2+{r'_{\theta}}^2)^{\frac{3}{2}}}\tag{12}\]

1.2.3 極值

　　相似一元函數的結論，對於偏導數到處存在的函數\(f(x_1,\cdots,x_n)\)，若是\(f'_{x_i}(x_{01},\cdots,x_{0n})=0\)皆成立，那麼\(\vec{x}_0=(x_{01},\cdots,x_{0n})\)稱爲\(f\)的靜止點。靜止點何時是極值點？再假設\(f\)有連續的二階偏微分，使用泰勒公式即得式（13）。若是記對稱矩陣\(Q=\{a_{ij}=f''_{x_ix_j}(\vec{x}_0)\}\)，則式（13）的值取決於\(Q\)關於\(\varDelta\vec{x}\)的二次型。二次型正定（負定），則靜止點是極大點（極小點），不然就不肯定。

\[\varDelta f(\vec{x}_0)=f(\vec{x})-f(\vec{x}_0)=\dfrac{1}{2}(\varDelta x_1\dfrac{\partial}{\partial x_1}+\cdots+\varDelta x_n\dfrac{\partial}{\partial x_n})^2f(\vec{x}_0+\theta\varDelta\vec{x})\tag{13}\]

　　上面的極值假定變量能夠在一個領域內變化，但實際問題中每每還有限制條件。好比已知\(G_i(\vec{x})=0,\,(i=1,\cdots,m)\)，求\(F(\vec{x})\)的極值，這樣的問題被稱爲條件極值。其實若是在局部\(\dfrac{\partial(G_1,\cdots,G_m)}{\partial(x_1,\cdots,x_m)}\ne 0\)，則根據\(G_i=0\)能夠獲得\(x_1,\cdots,x_m\)關於\(x_{m+1},\cdots,x_n\)的隱函數，將它們帶入\(F(\vec{x})\)即將問題轉化爲無條件極值問題。

　　但不少時候，這樣的隱函數沒法直接寫出，或者結果會破壞本來的對稱性，從而使計算變得複雜。咱們已經有了\(m\)個方程\(G_i=0\)，如今須要再找\((n-m)\)個「好」的方程。咱們仍然以\(x_{m+1},\cdots,x_n\)爲自變量考慮問題，由\(F\)的極值首先有\(\text{d}F=\sum\limits_{i=1}^nF'_{x_i}\,\text{d}x_i=0\)，注意其中\(\text{d}x_i,\,(i=1,\cdots,m)\)爲函數。若是能使等式中只有自變量\(x_{m+1},\cdots,x_n\)的微分，則微分系數都爲\(0\)，這就獲得了另外的\(n-m\)個方程。

　　能夠一樣對\(G_i\)求微分\(\text{d}G_i=\sum\limits_{i=1}^n{(G_i)}'_{x_i}\,\text{d}x_i=0\)，因爲\(\dfrac{\partial(G_1,\cdots,G_m)}{\partial(x_1,\cdots,x_m)}\ne 0\)，則能夠選擇參數\(\lambda_i,\,(i=1,\cdots,m)\)，使得\(\text{d}F+\sum\limits_{i=1}^m{\lambda_i\text{d}G_i}\)中\(\text{d}x_i,\,(i=1,\cdots,m)\)的係數爲\(0\)。這時\(\text{d}x_i,\,(i=m+1,\cdots,n)\)的係數一定是零，它們就是要找的\(n-m\)個方程。

　　如今來總結一下須要解的方程，爲方便討論，把\(\lambda_i\)也看做是未知數，並記\(\varPhi\)爲式（14）左。原先的\(m\)個方程\(G_i=0\)其實就是\(\varPhi'_{\lambda_j}=0\)，求\(\lambda_i\)的\(m\)方程實際上是\(\varPhi'_{x_i}=0,\,(i=1,\cdots,m)\)，而最後的\(n-m\)個方程即是\(\varPhi'_{x_i}=0,\,(i=m+1,\cdots,n)\)。這個方法稱爲拉格朗日乘數法，式（14）更便於記憶。但還要注意，咱們求得的只是「靜止點」，還需根據實際狀況肯定是不是極值。

\[\varPhi(\vec{x},\vec{\lambda})=F(\vec{x})+\sum\limits_{i=1}^m{\lambda_iG_i(\vec{x})}\quad\Rightarrow\quad\varPhi'_{x_i}=0\;\wedge\;\varPhi'_{\lambda_j}=0\tag{14}\]

2. 積分的應用

2.1 一元函數的積分

2.1.1 平面面積，體積

　　以前咱們把定積分做爲面積的一種定義，如今來看看這個定義的合理性，以及定積分更普遍的應用。首先咱們來給出平面圖形面積的一個直觀定義，對於多邊形，它們總能夠分割爲若干個三角形。對於通常平面圖形\(P\)，咱們總能夠構造兩個多邊形\(B,A\)，\(B\)把\(P\)圍住而\(A\)被\(P\)圍住，顯然\(B\)的面積不小於\(A\)的面積。全部知足條件的\(A\)的面積有上確界\(S_*\)，全部知足條件的\(B\)的面積有下确界\(S^*\)，當\(S_*=S^*\)時稱\(P\)可求積，且\(S=S_*=S^*\)稱爲\(P\)的面積。

　　對於任意圖形\(P\)，容易證實它可求積的充要條件是，存在多邊形序列\(\{A_i\},\{B_i\}\)，它們的面積極限相同。這個條件真好適合定積分的定義，因此對於可積函數，用定積分定義面積是合理的。對於複雜的圖形（定義域爲\([a,b]\)），記\(x=x_0\)截得的線段長爲\(g(x)\)（連續），則圖形面積爲式（15）左。若\(x\)是\(t\)的參數方程，且\(x'(t)\)連續，則還可用式（15）右邊計算。

\[S_P=\int_a^bg(x)\,\text{d}x=\int_{\alpha}^{\beta}g(x(t))x'(t)\,\text{d}t,\quad(x(\alpha)=a,a(\beta)=b)\tag{15}\]

　　以上定義面積方法其實能夠推廣開來，若是要求的量\(Q\)在\([a,b]\)上連續，將它分紅若干部分，每一部分使用某個可積分的近似值\(f(x_i)\varDelta x_i\)代替。而後證實偏差部分趨於\(0\)，這樣所求量就等於定積分\(\int_a^bf(x)\,\text{d}x\)。對於每一個具體的問題，證實偏差部分趨於零是必須的，有時候也是困難的，對\(f(x)\)的論證很是必要。但下面的結論，我只打算給出粗略的描述，具體證實請參考教材。

　　有些圖形用極座標描述更方便，對定義在\([\alpha,\beta]\)上的扇形\(r=r(\theta)\)，能夠證實其面積爲式（16）。相似地，能夠用多面體來的近似來定義體積，使用多個棱柱計算更方便。若立體\(V\)定義在\([a,b]\)上，且\(x\)處的截面面積爲\(S(x)\)，則能夠證實其體積爲\(\int_a^bS(x)\,\text{d}x\)。

\[r=r(\theta)\quad\Rightarrow\quad S_P=\dfrac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^2(\theta)\,\text{d}{\theta}\tag{16}\]

2.1.2 長度、旋轉面、曲線質量

　　如今討論平面裏的一條曲線段\(l\)，它由參數方程\(x(t),y(t),t\in[p,q]\)給出。在線上取若干個點，用線段按順序鏈接它們，而後用這些線段的長度之和的極限定義\(l\)的長度。若曲線段自身不相交且不封閉，能夠證實它的長度爲式（17）。當曲線首尾相連時，能夠拆成兩段計算，容易證實這種狀況公式仍然成立。若是把\(s\)當作\(t\)的函數，\(s'(t)=x'^2(t)+y'^2(t)\geqslant 0\)且連續，從而\(t^{-1}(s)\)存在。\(x,y\)就能夠看作\(s\)的函數，由\(\text{d}s^2=\text{d}x^2+\text{d}y^2\)知公式（18）成立。

\[s_l=\int_p^q\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}\,\text{d}t=\int_a^b\sqrt{1+y'^2(x)}\,\text{d}x=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r'^2(\theta)+r^2(\theta)}\,\text{d}\theta\tag{17}\]

\[(\dfrac{\text{d}x}{\text{d}s})^2+(\dfrac{\text{d}y}{\text{d}s})^2=1\tag{18}\]

　　對於通常曲面的面積，在後面會給出通常方法，這裏只討論一類特殊曲面的面積。對於定義在\([a,b]\)上的曲線\(y(x)\)，將它繞\(x\)軸旋轉一週，曲線的路徑造成旋轉面\(\Sigma\)。能夠用曲線上的分段線段的旋轉面（圓臺側面）做爲旋轉面面積，已經知道每一個線段旋轉面的面積是\(\pi(y_i+y_{i+1})d_i\)（\(d_i\)爲線段長），從而能夠證實旋轉面面積爲\(2\pi\int_0^ly\,\text{d}s\)（\(l\)爲曲線長度），整理即得式（19）成立。

\[S_{\Sigma}=2\pi\int_p^qy(t)\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}\,\text{d}t=2\pi\int_a^by(x)\sqrt{1+y'^2(x)}\,\text{d}x\tag{19}\]

　　更通常地，曲線\(l\)每一點的密度爲\(f(x,y)\)（也多是其它意義），那麼曲線的質量是多少呢？一樣的方法，將曲線分割爲若干小段\(\varDelta s\)，用全部段的質量和的極限做爲\(l\)重量的定義。這樣極限也被稱爲第一型曲線積分，記做\(\int_lf(x,y)\,\text{d}s\)。相似長度的分析，能夠用關於\(t\)參數方程表示\(x,y,s\)，並將第一型曲線積分轉化爲一元積分（式（20））。

\[\int_lf(x,y)\,\text{d}s=\int_p^qf(x(t),y(t))\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}\,\text{d}t\tag{20}\]

2.2 多元函數的積分

2.2.1 平面面積、體積

　　重積分自己就是對面積（體積）的積分，所以將積分函數設爲\(1\)即可求平面面積和體積（式（21）），而後能夠經過累次積分或換元法求得重積分。

\[S=\iint_D\text{d}x\,\text{d}y;\quad V=\iiint_{\Omega}\text{d}x\,\text{d}y\,\text{d}z\tag{21}\]

2.2.2 曲面面積、曲面質量

　　如今來看通常空間曲面\(\Gamma\)的面積，先介紹一個基本結論：設平面\(\pi_1,\pi_2\)之間的夾角爲\(\theta\)，則容易證實\(\pi_1\)上任何圖形在\(\pi_2\)上的垂直投影的面積是原圖形的\(\cos{\theta}\)。爲了定義曲面面積，咱們將曲面\(f(x,y)\)分割爲多個小區域\(\Gamma_1,\cdots,\Gamma_n\)，每一個區域在\(xy\)平面上的垂直投影是\(D_i\)。對於每一個區域\(\Gamma_i\)，能夠用它上面的任一點\(\xi_i,\eta_i\)的法平面被投影分割的部分\(T_i\)來近似，爲此還要假設\(f(x,y)\)有連續偏導數。

　　設\(T_i,D_i\)的面積分別爲\(\varDelta\tau_i,\varDelta\sigma_i\)，因爲\(T_i\)的法向量爲\((f_x(\xi_i,\eta_i),f_y(\xi_i,\eta_i),-1)\)，故\(T_i,D_i\)的夾角知足式（22）左。因此曲面的近似面積如式（22）右所示，它其實就是\(D\)上的一個積分和，所以曲面面積爲式（23）的重積分。若是\(x,y,z\)由參數\(u,v\)給出，從新計算便得式（24）的重積分。

\[\cos{\theta}=\dfrac{1}{\sqrt{1+f_x^2(\xi,\eta)+f_y^2(\xi,\eta)}};\quad\sum_{i=1}^n\varDelta\tau_i=\sum_{i=1}^n\dfrac{\varDelta\sigma_i}{\cos{\theta_i}}\tag{22}\]

\[S=\iint_D\sqrt{1+f_x^2(x,y)+f_y^2(x,y)}\,\text{d}x\,\text{d}y\tag{23}\]

\[S=\iint_{D'}\sqrt{A^2+B^2+C^2}\,\text{d}u\,\text{d}v,\quad(A=\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)},\;B=\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)},\;C=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)})\tag{24}\]

　　相似於第一型曲線積分，若是曲面\(\Gamma\)上的密度爲\(f(x,y,z)\)（或其它意義），則曲面質量被稱做第一型曲面積分。該積分記做\(\iint_{\Gamma}f(x,y,z)\,\text{d}\tau\)，上面的曲面面積其實就是\(\iint_{\Gamma}\text{d}\tau\)。能夠將微分\(\text{d}\tau\)展開，從而將第一型曲面積分轉化爲二重積分（好比式（25），也能夠寫成關於參變量\(u,v\)的重積分）。

\[\iint_{\Gamma}f(x,y,z)\,\text{d}\tau=\iint_Df(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,\text{d}x\,\text{d}y\tag{25}\]