3D數學基礎：圖形和遊戲開發（第2版）第二章筆記

時間 2021-02-01

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3D數學基礎：圖形和遊戲開發（第2版）第二章筆記

供參考和備忘用html

向量（Vector）

對數學家來講向量就是一個數字列表，對程序員來講向量能夠數組（Array）表示，但在計算機的圖形開發中咱們側重於向量的幾何表示。程序員

從幾何學上講，向量是具備大小和方向的有向線段。在圖形上經常使用箭頭（起點指向終點）表示，由於它捕獲了向量的兩個定義特徵：大小和方向。數組

向量的大小（Magnitude）：是指向量的長度。向量的長度是非負的。

向量的方向（Direction）：是指向量在空間中指向的方向。

向量是沒有位置的，只有大小和方向。它描述了從一個位置到另外一個位置的位移，是一種相對位置關係而不是絕對位置。ide

向量a可書寫爲：\(\vec a\)函數

在紙面上描述向量

在書寫向量時，有兩種表達方式：水平寫入和垂直寫入，水平寫入的向量稱爲行向量（Row Vector）,垂直寫入的稱爲列向量（Column Vector）。spa

行向量

以下所示的一個三維行向量，各個數字間可用逗號或空格隔開：scala

\[\begin{bmatrix} x,y,z \end{bmatrix} \]

列向量

以下所示的一個三維列向量：3d

\[\begin{bmatrix} x\\ y \\ z \\ \end{bmatrix} \]

向量的維度

向量的維度表示向量中元素的個數。一個元素就是一維向量，兩個數元素就是二維向量，三個元素就是三維向量......orm

份量

份量用來表示向量中具體的某一個元素，好比向量中的第一個份量表示向量中的第一個元素。
表示方式：htm

使用下標，如：\(v_1\) 指的是向量 \(v\) 中的第一個元素。

使用字母，使用x、y來指代二維向量中的元素；使用x、y、z表示三維向量中的元素；使用x、y、z、w表示四維向量中的元素。

例如，以下向量中，\(a_1 = a_x = 1\)表示的都是向量 \(a\) 的第一個份量。

\[a = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{bmatrix} \]

標量（Scalar）

標量其實就是普通數字的技術術語，與咱們平常中使用的數字無異。

使用笛卡爾座標指定向量

在二維笛卡爾座標中，X向右爲正，Y向上爲正。對於二維向量\([1.5,2]\)，在二維笛卡爾座標系中可描述爲：向右移動1.5個單位而後向上移動兩個單位，或者向上移動兩個單位而後向右移動1.5個單位。

零向量（Zero Vector）

零向量表示沒有方向且長度爲0的向量。能夠將零向量看做是表達「無位移」概念的一種方式。

向量與點

點用於指定位置，向量用於描述位移。

點的位置是相對的——相對於指定其座標的座標系的原點。

向量描述了一個位置到另外一個位置的位移，是一種相對位置關係。

因此，若是從原點（參考點）開始並按向量\([x,y]\)指定的量移動，那麼將最終到達點\((x,y)\)所描述的位置。也就是說向量\([x,y]\)給出了從原點（參考點）到點(x,y)的位移。好比，在二維笛卡爾座標系中，點：\((1,2)\)，能夠表示爲向量：\([1,2]\)，原點(0,0)開始，向右移動了1個單位，而後向上移動了2個單位，而後到達點\((1,2)\)。

一切都是相對的

世界上有不少東西都是很難創建「絕對」參考的東西。好比上面提到的點和向量。另外還有溫度、速度、音量等等。
好比咱們說體溫是：37.3℃，是相對於0℃（水的冰點）來講的。

向量的運算

負向量

負向量就是將向量的每個份量變爲其相反數。\(\vec a\)的負向量爲\(-\vec a\)

好比，向量：\([-3,2]\)的負向量爲：\(-[-3,2] = [3,-2]\)

使向量變負會產生大小相同但方向相反的向量。

向量與標量的乘法

被乘數與乘數

被乘數通常放在算式的前面，乘數通常放在算式的後面。被乘數表示需重複相加的數，乘數表示需重複相加的次數。

如：\(4 \times 2 = 8\)，4是被乘數，2是乘數。讀做：4 乘以 2 等於8，或者讀做：2 乘 4 等於8。表示2個4相加。

向量乘以標量

向量不能與標量相加，可是能夠將向量乘以標量。其實，向量乘以標量也能夠當作標量個向量相加的和。

其結果是一個與原始向量平行的向量，但具備不一樣的長度和可能相反的方向。也可理解爲：對原始向量進行長度爲標量的絕對值的縮放，若是標量小於0，則翻轉向量的方向。

計算方式：將標量與每個向量的份量相乘。如：

\[\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\\ \end{bmatrix}k = k \begin{bmatrix} x \\ y \\ z\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} kx \\ ky \\ kz\\ \end{bmatrix} \]

向量除以非零標量

等價於向量乘以此標量的倒數。反過來，標量是不能夠除以向量的。向量也不能夠除以另外一個向量。

\[\frac{\vec v}{k} = \vec {v}{\frac{1}{k}} \]

一些注意事項：

當將向量乘以標量時，沒必要使用任何乘法符號。乘法是經過將兩個量並排放置（一般右邊是向量）來表示的。
標量和向量的乘法和除法都在任何加法和減法以前發生。
負向量能夠被視爲將向量乘以標量-1的特殊狀況。

向量的加法和減法

兩個向量相加或相減，它們必須具備相同的維度，不一樣維度不能相加減。

向量的加法

計算方式：將向量對應的份量相加便可。如：

\[\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+a \\ y+b \\ z+c \\ \end{bmatrix} \]

向量的加法知足交換律，即：\(\vec a + \vec b = \vec b + \vec a\)

向量的減法

相應的份量相減便可。向量的減法能夠理解爲加上一個向量的負向量。即：\(\vec a - \vec b = \vec a + (- \vec b)\)。如：

\[\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} + (- \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}) = \begin{bmatrix} x-a \\ y-b \\ z-c \\ \end{bmatrix} \]

向量的減法不知足交換律，即：\(\vec a - \vec b \neq \vec b - \vec a\)，它們的結果長度相同但方向相反，因此，\(\vec a - \vec b = -(\vec b - \vec a)\)。

幾何解釋

\[\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix} \]

如上所示的向量加法，可描述爲：向右移動1個單位 -> 向上移動2個單位 -> 再向右移動3個單位 -> 在向上移動4個單位。

向量的大小

向量的大小也稱爲向量的長度（Length）。它的值是非負的。

表示方式：\(||向量||\)。如，\(\vec a\)的長度表示爲：\(||\vec a||\)。

計算方式：向量各個份量的平方和的平方根。如，\(\vec v = [3,4]\)的長度計算方式爲：

\[||\vec v|| = \sqrt{3^2+4^2} = 5 \]

單位向量（Unit Vector）

對於許多向量，咱們只關注其方向而不是大小（如：法線（Normal）），在這些狀況下，使用單位向量一般會很方便。

單位向量是大小爲1的向量。單位向量也被稱爲歸一化向量（Normalized Vector）。

任何非零向量的單位向量的計算方式：向量除以向量的長度，以下所示：

\[\hat v = \frac{\vec v}{||\vec v||} \]

例如，向量\([3,4]\)的單位向量爲：

\[\frac{[3,4]}{||[3,4]||} = \frac{[3,4]}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{[3,4]}{5} = [\frac{3}{5},\frac{4}{5}] = [0.6,0.8] \]

距離公式

距離爲兩點之間的線段長度。因爲向量是有向線段，所以幾何上有意義的是，兩點之間的距離將等於從一點到另外一點的向量的長度。

求\(\vec a\)到\(\vec b\)間距離的計算方式：

第一步：求出\(\vec a\)到\(\vec b\)的向量
第二步：求出該向量的長度

例如，\(\vec a = [x,y]\)，\(\vec b = [m,n]\)。求\(\vec a\)到\(\vec b\)的距離：

設，\(\vec d\)爲\(\vec a\)到\(\vec b\)的向量；則，\(\vec d = \vec b - \vec a\)
計算出：\(\vec d = [m-x,n-y]\)
因此距離爲：\(||\vec d|| = \sqrt{(m-x)^2 + (n-y)^2}\)

其實，計算兩個向量的距離就是計算兩個向量的差所得向量的長度。

向量點積（Dot Product）

點積也稱爲內積（Inner Product），點積的名稱來自向量乘積表示法中使用的點符號，且不能省略點符號。

向量\(\vec a\)與向量\(\vec b\)的點積表示爲：\(\vec a \cdot \vec b\)

計算方式：相應份量的乘積之和，獲得的是一個標量。以下所示：

\[\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_{n-1} \\ a_n \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_{n-1} \\ b_n \end{bmatrix} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_{n-1}b_{b-1} + a_nb_n \]

點積知足交換律，也就是說：\(\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a\)

這裏有一個與之比較貼近現實的例子：
假設你有3噸小麥、4噸糖、2噸大米，則能夠表示爲：\([3,4,2]\)。
其中，1噸小麥162元，1噸糖558元，1噸大米495元，則能夠表示爲：\([162,558,495]\)。
那麼，你的總收入爲：\(3 \times 162 + 4 \times 558 + 2 \times 495 = 3798\)元。
來源：https://www.quora.com/Why-is-the-definition-of-the-dot-product-the-way-it-is

幾何意義

如何上圖所示，\(\vec a\)與\(\vec b\)的夾角爲\(\theta\)，\(\vec c = \vec a - \vec b\)，\(\vec a\)、\(\vec b\)、\(\vec c\)構成一個三角形。

由三角形餘弦定理可知：

\[||\vec c||^2 = ||\vec a||^2 + ||\vec b||^2 -2||\vec a||||\vec b||cos\theta \]

假設：

\[\vec a = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \end{bmatrix} \]

\[\vec b = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \end{bmatrix} \]

由上方的向量的大小描述可知：

\[||\vec a||^2 = {a_1}^2 + {a_2}^2 \]

\[||\vec b||^2 = {b_1}^2 + {b_2}^2 \]

又：

\[||\vec c||^2 = ||(\vec a - \vec b)||^2 = ||\begin{bmatrix} a_1-b_1 \\ a_2-b_2 \\ \end{bmatrix}||^2 = (a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 = {a_1}^2 +{b_1}^2 -2a_1b_1 + {a_2}^2 +{b_2}^2 -2a_2b_2 \]

因此：

\[{a_1}^2 +{b_1}^2 -2a_1b_1 + {a_2}^2 +{b_2}^2 -2a_2b_2 = {a_1}^2 + {a_2}^2 + {b_1}^2 + {b_2}^2 -2||\vec a||||\vec b||cos\theta \]

化簡得：

\[a_1b_1 + a_2b_2 = ||\vec a||||\vec b||cos\theta \]

因此咱們能夠推導出向量點積的另外一種計算方式：\(||\vec a||||\vec b||cos\theta\)，也就是說：

\[\vec a \cdot \vec b = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_{n-1} \\ a_n \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_{n-1} \\ b_n \end{bmatrix} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_{n-1}b_{b-1} + a_nb_n = ||\vec a||||\vec b||cos\theta \]

\(||\vec b||cos\theta\)的另外一層含義是什麼？

由上圖和三角函數可知：\(m = ||\vec b||cos\theta\)，因此：\(\vec a \cdot \vec b = ||\vec a||m\)

那麼，\(m\)是什麼？\(m\)是\(\vec b\)在\(\vec a\)上投影的長度。以下圖所示：

圖源：https://www.shuxuele.com/algebra/vectors-dot-product.html

因此兩個向量點積的幾何意義爲：一個向量在另外一個向量上投影的長度與另外一個向量長度的乘積。

兩個向量夾角的啓示

\(\vec a \cdot \vec b\)	\(\theta\)	角度爲	\(\vec a\)和\(\vec b\)是
>0	\(0^\circ \leq \theta < 90^\circ\)	銳角	主要指向同一方向
0	\(\theta = 90^\circ\)	直角	垂直
<0	\(90^\circ < \theta \leq 180^\circ\)	鈍角	主要指向反方向

向量點積的分配律

\[\vec a \cdot (\vec b + \vec c) = \vec a \cdot \vec b + \vec a \cdot \vec c \]

幾何上證實：

由上圖所示：\(\vec d = \vec b + \vec c\)，\(\vec b\)在\(\vec a\)向量上的投影長度爲\(x\)，\(\vec c\)在\(\vec a\)向量上的投影長度爲\(y\)，\(\vec d\)在\(\vec a\)向量上的投影長度爲\(z\)，\(z = x+y\)。
可知：

\[\vec a \cdot (\vec b + \vec c) = \vec a \cdot \vec d = ||\vec a||z \]

\[\vec a \cdot \vec b + \vec a \cdot \vec c = \vec a \cdot \vec d = ||\vec a||x + ||\vec a||y = ||\vec a||(x+y) \]

又，\(z = x+y\)，因此：

\[\vec a \cdot (\vec b + \vec c) = \vec a \cdot \vec b + \vec a \cdot \vec c \]

點積與任意矢量和標量的乘法的結合律

\[(k\vec a) \cdot \vec b = k(\vec a \cdot \vec b) = \vec a \cdot (k\vec b) \]

證實：

\[(k\vec a) \cdot \vec b = \begin{bmatrix} ka_1 \\ ka_2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} = ka_1b_1 + ka_2b_2 = k(a_1b_1 + a_2b_2) \]

\[k(\vec a \cdot \vec b) = k(\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}) = k(a_1b_1 + a_2b_2) \]

\[\vec a \cdot k(\vec b) = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} kb_1 \\ kb_2 \end{bmatrix} = a_1kb_1 + a_2kb_2 = k(a_1b_1 + a_2b_2) \]

關於向量點積的一些參考連接：
https://www.shuxuele.com/algebra/vectors-dot-product.html
https://www.quora.com/Why-is-the-definition-of-the-dot-product-the-way-it-is

另，3Blue1Brown關於點積的筆記

向量叉積（Cross Product）

叉積又叫外積或向量積（Vector Product）,只能在三維中應用。結果是一個向量

向量\(\vec a\)與向量\(\vec b\)的叉積表示爲：\(\vec a \times \vec b\)

計算方式：

\[\begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \\ \end{bmatrix} \times\ \begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_1z_2 - z_1y_2 \\ z_1x_2 - x_1z_2 \\ x_1y_2 - y_1x_2 \\ \end{bmatrix} \]

向量的叉積不知足交換律：\(\vec a \times \vec b \neq \vec b \times \vec a = -(\vec b \times \vec a)\)

向量的叉積不知足結合律：\((\vec a \times \vec b) \times \vec c \neq \vec a \times (\vec b \times \vec c)\)

幾何意義

假設\(\vec a\)和\(\vec b\)的叉積爲：\(\vec m\)，也就是說：

\[\vec a = \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \\ \end{bmatrix} \]

\[\vec a = \begin{bmatrix} x_2 \\ y_3 \\ z_2 \\ \end{bmatrix} \]

\[\vec m = \begin{bmatrix} y_1z_2 - z_1y_2 \\ z_1x_2 - x_1z_2 \\ x_1y_2 - y_1x_2 \\ \end{bmatrix} \]

那麼計算向量\(\vec m\)的長度的平方，\(||\vec m||^2\)爲：

\[(y_1z_2 - z_1y_2)^2+(z_1x_2 - x_1z_2)^2+(x_1y_2 - y_1x_2)^2 \]

展開後，可得：

\[({y_1z_2})^2+({z_1y_2})^2+({z_1x_2})^2+({x_1z_2})^2+({x_1y_2})^2+({y_1x_2})^2 - 2y_1y_2z_1z_2 -2x_1x_2z_1z_2 - 2x_1x_2y_1y_2 \]

等價於：

\[({x_1}^2 + {y_1}^2 + {z_1}^2) \times\ ({x_2}^2 + {y_2}^2 + {z_2}^2) - (x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2)^2 \]

等價於：

\[||\vec a||^2||\vec b||^2 - (\vec a \cdot \vec b)^2 \]

等價於：

\[||\vec a||^2||\vec b||^2 - (||\vec a||||\vec b||cos\theta)^2 \]

等價於：

\[||\vec m||^2 = ||\vec a||^2||\vec b||^2(1- cos\theta^2) = ||\vec a||^2||\vec b||^2sin\theta^2 \]

因此：

\[||\vec m|| = ||\vec a||||\vec b||sin\theta \]

那麼，\(||\vec b||sin\theta\)的另外一層含義是什麼？

由上圖可知，\(||\vec b||sin\theta = h\)，而\(h\)垂直於\(\vec a\)，那麼：

\[||\vec m|| = ||\vec a||||\vec b||sin\theta = ||\vec a||h \]

這能夠看做是：\(\vec a\)和\(\vec b\)構成的平行四邊形的面積（底乘以高）。

也就是說，\(\vec a \times \vec b\)的長度爲\(\vec a\)和\(\vec b\)構成的平行四邊形的面積。

向量叉積的方向

叉積是個向量呀，如今知道了大小，那方向了？

首先，咱們知道：\(\vec m = \vec a \times\ \vec b\)

那麼咱們先來計算：\(\vec m \cdot \vec a\)

\[\vec m \cdot \vec a = \begin{bmatrix} y_1z_2 - z_1y_2 \\ z_1x_2 - x_1z_2 \\ x_1y_2 - y_1x_2 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \\ \end{bmatrix} \]

展開：

\[\vec m \cdot \vec a = x_1y_1z_2 - x_1y_2z_1 + x_2y_1z_1 - x_1y_1z_2 + x_1y_2z_1 - x_2y_1z_1 = 0 \]

獲得：\(\vec m \cdot \vec a = 0\)，這意味着：\(\vec m\)垂直於\(\vec a\) !!!

以一樣的方式計算\(\vec m \cdot \vec b\)，依然會獲得相同的結果，也就是說：\(\vec m\)垂直於\(\vec b\) !!!

更進一步說：\(\vec m\)垂直於\(\vec a\)和\(\vec b\)構成的平面。

但是，垂直於平面的向量可能有兩個方向啊，如何肯定是哪一個方向了？

例如：\(\vec a \times\ \vec b\)

一、對於右手座標系