向量點乘（內積）和叉乘（外積、向量積）概念及幾何意義解讀

向量是由n個實數組成的一個n行1列（n*1）或一個1行n列（1*n）的有序數組；

 

向量的點乘,也叫向量的內積、數量積，對兩個向量執行點乘運算，就是對這兩個向量對應位一一相乘以後求和的操做，點乘的結果是一個標量。

 

點乘公式

 

對於向量a和向量b：

 

                                                           

 

a和b的點積公式爲：

 

 

 

要求一維向量a和向量b的行列數相同。

 

點乘幾何意義

 

點乘的幾何意義是能夠用來表徵或計算兩個向量之間的夾角，以及在b向量在a向量方向上的投影，有公式：

 

 

推導過程以下，首先看一下向量組成：

 

 

 

定義向量：

 

 

根據三角形餘弦定理有：

 

 

根據關係c=a-b（a、b、c均爲向量）有：

 

 

即：

 

向量a，b的長度都是能夠計算的已知量，從而有a和b間的夾角θ：

 

 

根據這個公式就能夠計算向量a和向量b之間的夾角。從而就能夠進一步判斷這兩個向量是不是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向關係，具體對應關係爲：

     a·b>0    方向基本相同，夾角在0°到90°之間

     a·b=0    正交，相互垂直  

     a·b<0    方向基本相反，夾角在90°到180°之間 

 

叉乘公式

 

兩個向量的叉乘，又叫向量積、外積、叉積，叉乘的運算結果是一個向量而不是一個標量。而且兩個向量的叉積與這兩個向量組成的座標平面垂直。

 

對於向量a和向量b：

 

 

a和b的叉乘公式爲：

 

 

其中：

 

 

根據i、j、k間關係，有：

 

 

 

 

叉乘幾何意義

 

 

在三維幾何中，向量a和向量b的叉乘結果是一個向量，更爲熟知的叫法是法向量，該向量垂直於a和b向量構成的平面。

 

在3D圖像學中，叉乘的概念很是有用，能夠經過兩個向量的叉乘，生成第三個垂直於a，b的法向量，從而構建X、Y、Z座標系。以下圖所示： 

 

 

在二維空間中，叉乘還有另一個幾何意義就是：aXb等於由向量a和向量b構成的平行四邊形的面積。