動態規劃（一）：矩陣取數問題

1、問題描述：

給定一個m行n列的矩陣，矩陣每一個元素是一個正整數，你如今在左上角（第一行第一列），你須要走到右下角（第m行，第n列），每次只能朝右或者下走到相鄰的位置，不能走出矩陣。走過的數的總和做爲你的得分，求最大的得分。

   

2、分析：

1. 定義

   二維數組A[][]表示矩陣（下標從1開始）

   f(int x,int y)表示從起點到第x行第y列的最優路徑上的數之和

   

1. 遞推式：

   

① 下標從1開始，第0行或第0列不存在

② f(1, 1)是起點，沒得選

③ 從起點達到(x,y)的最優路徑要通過(x – 1,y)或者(x,y – 1)，從起點到達(x – 1,y)或者(x,y – 1)的路徑必定也必須是最優的。兩者中取較大的

1. 列表

   最大得分只有一個，但最優路徑不是惟一的：當f(x – 1,y) ＝ f(x, y – 1)時，前一個位置在上面或者左面均可以（獲得的分數都是最大），因此路徑仍是不少不少的

2. 複雜度：

   時間複雜度和空間複雜度都是O(m*n)

3、例題

1. 題目

   輸入

   第1行：N，N爲矩陣的大小。(2 <= N <= 500)

   第2 - N + 1行：每行N個數，中間用空格隔開，對應格子中獎勵的價值。（1 <= N[i] <= 10000)

      

   輸出

   輸出可以得到的最大價值。

      

   輸入示例

   3

   1 3 3

   2 1 3

   2 2 1

      

   輸出示例

   11

2. 代碼

   import java.util.*;

      

   public class Main {

   public static void main(String[] args) {

   /* 輸入 */

   Scanner sc = new Scanner(System.in);

   int n = sc.nextInt();

   int[][] arr = new int[n+1][n+1];

   int[][] max = new int[n+1][n+1];

      

   for(int i = 1; i <= n ; i++){

   for (int j = 1; j <= n; j++) {

   arr[i][j] = sc.nextInt();//賦值給某個變量

   }

   }

   for(int i = 1; i <= n ; i++){

   for (int j = 1; j <= n; j++) {

   if (i == 1 && j == 1){

   max[i][j] = arr[i][j];

   }

   else{

   max[i][j] = Math.max(max[i-1][j],max[i][j-1])+arr[i][j];

   }

   }

   }

   System.out.println(max[n][n]);

   }

   }