動態規劃之矩陣鏈相乘

 題目:n個矩陣連乘，求最少的乘法運算次數以及結合方式

   假設矩陣A爲r1*r2,矩陣B爲r2*r3，因此M=A*B=r1*r2*r3。當有多個矩陣相乘的時候，矩陣以不一樣的方式結合的時候其運算次數是不一樣的。

例如:M=M1   *     M2    *    M3    *    M4

                [5*20]   [20*50]    [50*1]    [1*100]

((M1*M2)*M3)*M4=5000+250+500=5750

而M1*(M2*(M3*M4))=5000+100000+10000=115000

若是按照(M1*(M2*M3)*M4)=1000+100+500=1600

上面的例子說明根據不一樣的結合順序，運算的次數是不一樣的。如今咱們就是要求經過哪一種順序所進行的乘法運算次數最少,而且求出運算最少的次數是多少。

算法思想:

  記Mi*Mi+1*Mi+2*...*Mj爲mij,矩陣的大小爲:M1爲r1*r2,M2爲r2*r3,M3爲r3*r3,M4爲r4*r5。r1,r2,r3,r4,r5分別爲5,20,50,1,100.

 (1)首先計算矩陣相乘個數爲2的3種狀況。

m12=M1*M2=r1*r2*r3=5000，m23=r2*rr*r4，m34=r3*r4*r5=1000,m34=5000

 (2)計算相乘矩陣個數爲3的2種狀況

m13=M1*M2*M3,目標是求出m13的乘法運算次數最小值。m13=min{M1*m23+r1*r2*r4，m12*M3+r1*r3*r4}=min{1100，5250}=m12*M3+r1*r3*r4=1100

同理 m24=M2*M3*M4=min{M2*m34+r2*r3*r，m23*M4+r2*r4*r5}=min{10500,3000}=3000；

(3)最後計算相乘矩陣個數爲4的最終結果：

  m14=min(m13*M4+r1*r4*r5，m12*m34+r1*r3*r4，M1*m24+r1*r2*r5)={3000+10000 ，5000+5000,+25000,1100+500}=1600

算法以下

#include <iostream>

using namespace std;

int r[100],com[100][100];

int course(int i,int j)
{
    int u,t;
    if(i==j)
        return 0;
    if(i==j-1)
    {
        com[i][j]=i;
        return r[i]*r[i+1]*r[i+2];
    }
    else
    {
        u=course(i,i)+course(i+1,j)+r[i]*r[i+1]*r[j+1];
        com[i][j]=i;
        for(int k=i;k<j;k++)
        {
            t=course(i,k)+course(k+1,j)+r[i]*r[k+1]*r[j+1];
            if(t<u)
            {
                u=t;
                com[i][j]=k;
            }
        }
        return u;
    }
}


int main()
{
    int n;
    printf("input n:");
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&r[i]);
    printf("min=%d\n",course(1,n-1));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
            printf("%d ",com[i][j]);
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

com適用於保存矩陣的結合方式的com[i][j]=k，表示的是mik*mkj的時候進行乘法的次數最少

遞歸調用的過程以下:

1-2,2-3,3-4等子問題都被遞歸調用了2次，子問題存在重複。能夠採用備忘錄方法解決該問題，設置一個全局變量m[i][j[,存儲已經計算過的course(i,j)的值，下次調用的時候直接使用。

非遞歸算法

  非遞歸的算法計算過程和算法主要思想裏面的一致。運算的矩陣的個數從少到多慢慢增長。

  for(int i=1;i<n;i++)
    {
        m[i][i]=0;
        m[i][i+1]=r[i]*r[i+1]*r[i+2];
        com[i][i+1]=i;
    }
    m[n][n]=0;
    //動態規劃
    for(int s=2;s<n;s++)
        for(int i=1;i<=n-s+1;i++)
        {
            j=i+s;
            m[i][j]=m[i][i]+m[i+1][j]+r[i]*r[i+1]*r[j+1];
            com[i][j]=i;
            for(int k=i+1;k<j;k++)
            {
                t=m[i][k]+m[k+1][j]+r[i]*r[k+1]*r[j+1];
                if(t<m[i][j])
                    m[i][j]=t;
                com[i][j]=k;
            }

        }