動態規劃之矩陣連乘

時間 2020-08-18

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【問題描述】ios

給定n個矩陣｛A1,A2,…,An｝，其中Ai與Ai+1是可乘的，i=1，2…，n-1。如何肯定計算矩陣連乘積的計算次序，使得依這次序計算矩陣連乘積須要的數乘次數最少。例如，給定三個連乘矩陣{A1，A2，A3}的維數分別是10*100，100*5和5*50，採用（A1A2）A3，乘法次數爲10*100*5+10*5*50=7500次，而採用A1（A2A3），乘法次數爲100*5*50+10*100*50=75000次乘法，顯然，最好的次序是（A1A2)A3，乘法次數爲7500次。算法

分析：
矩陣鏈乘法問題描述：
給定由n個矩陣構成的序列｛A1，A2，...，An}，對乘積A1A2...An，找到最小化乘法次數的加括號方法。spa

1）尋找最優子結構
此問題最難的地方在於找到最優子結構。對乘積A1A2...An的任意加括號方法都會將序列在某個地方分紅兩部分，也就是最後一次乘法計算的地方，咱們將這個位置記爲k，也就是說首先計算A1...Ak和Ak+1...An，而後再將這兩部分的結果相乘。
最優子結構以下：假設A1A2...An的一個最優加括號把乘積在Ak和Ak+1間分開，則前綴子鏈A1...Ak的加括號方式一定爲A1...Ak的一個最優加括號，後綴子鏈同理。
一開始並不知道k的確切位置，須要遍歷全部位置以保證找到合適的k來分割乘積。code

2）構造遞歸解
設m[i,j]爲矩陣鏈Ai...Aj的最優解的代價，則blog

3）構建輔助表，解決重疊子問題
從第二步的遞歸式能夠發現解的過程當中會有不少重疊子問題，能夠用一個nXn維的輔助表m[n][n] s[n][n]分別表示最優乘積代價及其分割位置k 。
輔助表s[n][n]能夠由2種方法構造，一種是自底向上填表構建，該方法要求按照遞增的方式逐步填寫子問題的解，也就是先計算長度爲2的全部矩陣鏈的解，而後計算長度3的矩陣鏈，直到長度n；另外一種是自頂向下填表的備忘錄法，該方法將表的每一個元素初始化爲某特殊值(本問題中能夠將最優乘積代價設置爲一極大值)，以表示待計算，在遞歸的過程當中逐個填入遇到的子問題的解。遞歸

第一種自底向上的方式io

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 
 4 const int N=7;
 5 //p爲矩陣鏈，p[0],p[1]表明第一個矩陣，p[1],p[2]表明第二個矩陣，length爲p的長度
 6 //因此若是有六個矩陣，length=7，m爲存儲最優結果的二維矩陣，s爲存儲選擇最優結果路線的
 7 //二維矩陣
 8 void MatrixChainOrder(int *p,int m[N][N],int s[N][N],int length)
 9 {
10     int n=length-1;
11     int l,i,j,k,q=0;
12     //m[i][i]只有一個矩陣，因此相乘次數爲0，即m[i][i]=0;
13     for(i=1;i<length;i++)
14     {
15         m[i][i]=0;
16     }
17     //l表示矩陣鏈的長度
18     // l=2時，計算 m[i,i+1],i=1,2,...,n-1 (長度l=2的鏈的最小代價)
19     for(l=2;l<=n;l++)
20     {
21         for(i=1;i<=n-l+1;i++)
22         {
23             j=i+l-1; //以i爲起始位置，j爲長度爲l的鏈的末位，
24             m[i][j]=0x7fffffff;
25             //k從i到j-1,以k爲位置劃分
26             for(k=i;k<=j-1;k++)
27             {
28                 q=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
29                 if(q<m[i][j])
30                 {
31                     m[i][j]=q;
32                     s[i][j]=k;
33                 }
34             }
35         }
36     }
37     cout << m[1][N-1] << endl;
38 }
39 void PrintAnswer(int s[N][N],int i,int j)
40 {
41     if(i==j)
42     {
43         cout<<"A"<<i;
44     }
45     else
46     {
47         cout<<"(";
48         PrintAnswer(s,i,s[i][j]);
49         PrintAnswer(s,s[i][j]+1,j);
50         cout<<")";
51     }
52 }
53 int main()
54 {
55     int p[N]={30,35,15,5,10,20,25};
56     int m[N][N],s[N][N];
57     MatrixChainOrder(p,m,s,N);
58     PrintAnswer(s,1,N-1);
59     return 0;
60 }

對於 p={30 35 15 5 10 20 25}:class

計算順序爲：效率

第二種自頂向下（備忘錄）的方式stream

#include<iostream>
using namespace std;

const int N=7;

int MatrixChainOrder2(int *p,int m[N][N],int s[N][N],int i, int j)
{
    
    if (i == j)
    {
        return 0;
    }
    if (m[i][j] < 0x7fffffff)
    {
        return m[i][j];
    }

    for (int k=i; k<j; ++k)
    {
        
        int tmp = MatrixChainOrder2(p,m,s,i,k) + MatrixChainOrder2(p,m,s,k+1,j) + p[i-1]*p[k]*p[j];
        if (tmp < m[i][j])
        {
            m[i][j] = tmp;
            s[i][j] = k;
        }
    }
    return m[i][j];
}


void PrintAnswer(int s[N][N],int i,int j)
{
    if(i==j)
    {
        cout<<"A"<<i;
    }
    else
    {
        cout<<"(";
        PrintAnswer(s,i,s[i][j]);
        PrintAnswer(s,s[i][j]+1,j);
        cout<<")";
    }
}


int main()
{
    int p[N]={30,35,15,5,10,20,25};
    int m[N][N],s[N][N];

    for (int i=0; i<N; ++i)
    {
        for (int j=0; j<N; ++j)
            m[i][j] = 0x7fffffff;
    }
    cout << MatrixChainOrder2(p,m,s,1,6)<<endl;
    PrintAnswer(s,1,N-1);
    return 0;
}