矩陣連乘問題_動態規劃

 

1）問題引導

一個demo

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 
 3 using namespace std;
 4 
 5 int main()
 6 {
 7     int array1[3][4]={{1,1,1,2},{2,2,3,3},{3,4,4,4}};
 8     int array2[4][3]={{1,1,1},{2,2,2},{3,3,3},{4,4,4}};
 9     int array3[3][3];
10     for(int i=0;i<3;i++){
11         for(int j=0;j<3;j++)
12         {
13             for(int k=0;k<4;k++)
14             {
15                 array3[i][j]=array1[i][k]*array2[k][j];
16             }
17         }
18     }
19     for(int i=0;i<3;i++){
20         for(int j=0;j<3;j++)
21         {
22             cout << array3[i][j] << " ";
23         }
24         cout << endl;
25     }
26 
27     return 0;
28 }

 

從上面咱們能夠知道不一樣的結合方式，矩陣計算的次序數不同，那麼如何求這個最小次序數的劃分，即如何結合。這就是矩陣連乘問題

使用動態規劃能夠解決

以下圖，若是咱們使用遞歸，則會產生大量的重複計算，複雜度過高，固然使用備忘錄下降複雜度。不過更好的是使用遞推

遞推算法分析以下：

 

 

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 void matrixChain(int n,int p[],int m[][100],int s[][100])//遞推
 4 {
 5    for(int i=1;i<=n;i++){//對角線先爲0
 6     m[i][i]=0;
 7    }
 8    for(int r=2;r<=n;r++){//一共n-1個對角線
 9     for(int i=1;i<=n-r+1;i++){//第i行
10         int j=i+r-1;//在該行的對角線上的點對應的j值
11         m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];//初始化此時在i處取得最優解
12         s[i][j]=i;
13         for(int k=i+1;k<j;k++){//若是有更小的則被替換
14             int t=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
15             if(t<m[i][j])
16             {
17                 m[i][j]=t;
18                 s[i][j]=k;
19             }
20         }
21     }
22    }
23 }
24 void print_optimal_parents(int s[100][100],int i,int j)//打印劃分的結果
25  {
26      if( i == j)
27          cout<<"A"<<i;
28      else
29      {
30          cout<<"(";
31          print_optimal_parents(s,i,s[i][j]);
32          print_optimal_parents(s,s[i][j]+1,j);
33          cout<<")";
34      }
35 
36  }
37 int main()
38 {
39     int p[1000];//每一個矩陣的行數和最後一個的列數
40     int m[100][100];//存儲最優子結構
41     int s[100][100];//存儲當前結構的最優斷點
42     memset(p,0,sizeof(p));
43     memset(m,0,sizeof(m));
44     memset(s,0,sizeof(s));
45     cout << "請輸入矩陣的個數"<< endl;
46     int n;
47     cin >> n;
48     cout << "請依次輸入每一個矩陣的行數和最後一個矩陣的列數"<< endl;
49     for(int i=0;i<=n;i++){
50         cin >> p[i];
51     }
52     matrixChain(n,p,m,s);
53     cout <<"這些矩陣相乘的最少次數是"<<m[1][n]<<endl;
54 
55      cout<<"結果是:"<<endl;
56      print_optimal_parents(s,1,n);
57     return 0;
58 }