動態規劃引入—矩陣乘法

時間 2019-12-07

標籤動態規劃引入矩陣乘法欄目應用數學简体版

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　動態規劃算法適用於解最優化問題。一般可按如下4個步驟進行：算法

　　1.找出最優解的性質，並刻畫其結構特徵數組

　　2.遞歸地定義最優質優化

　　3.以自底向上的方式計算出最優值spa

　　4.根據計算最優值時獲得的信息，構造最優解.net

舉例：矩陣乘法問題code

以兩個矩陣相乘爲例，A1*A2，A1和A2爲兩個矩陣，假設A1的行列數是p*q，A2的行列數是q*r。注意這裏因爲是A1乘以A2，因此A1的列數要等於A2的行數，不然沒法作矩陣乘法，知足上述條件的矩陣，咱們稱之爲「相容」的。那麼對於A1*A2而言，咱們須要分別執行p*r次對應A1的行元素乘以A2的列元素，根據線性代數知識，不可貴出咱們一共須要執行p*q*r次乘法。blog

對於兩個矩陣相乘，一旦矩陣的大小肯定下來了，那麼所需執行的乘法次數就肯定下來了。那麼對於兩個以上的矩陣呢？是否是也是這樣呢。實際上，對於多個矩陣相乘，乘法執行的次數與「劃分」有關。例如：遞歸

以矩陣鏈<A1,A2,A3>爲例，假設三個矩陣的規模分別爲10X100，100X5和5X50。class

①以((A1*A2)*A3)方式劃分，乘法執行次數爲：10*100*5+10*5*50=5000+2500=7500次循環

②以(A1*(A2*A3))方式劃分，乘法執行次數爲：100*5*50+10*100*50=25000+50000=75000次

咱們能夠發現，對於一樣的矩陣鏈<A1,A2,A3>相乘而言，不一樣的劃分，乘法次數竟然相差10倍。

2、如何得到最佳的矩陣鏈乘法劃分和最少次數

這裏咱們須要兩個二維數組記錄記錄是從哪裏「斷開」（s），記錄"每一段"到哪裏截止（m）。以下圖：

使用一個長度爲n+1的一維數組p來記錄每一個矩陣的規模，其中n爲矩陣下標i的範圍1~n，例如對於矩陣Ai而言，它的規模應該是p[i-1]到p[i]。因爲i是從1到n取值，因此數組p的下標是從0到n。

用於存儲最少乘法執行次數和最佳分段方式的結構是兩個二維數組m和s，都是從1~n取值。m[i][j]記錄矩陣鏈<Ai,Ai+1,...,Aj>的最少乘法執行次數，而s[i][j]則記錄最優質m[i][j]的分割點k。

須要注意的一點是當i=j時，m[i][j]=m[i][i]=0，由於一個矩陣不須要任何乘法。

假設矩陣鏈從Ai到Aj，有j-i+1個矩陣，咱們從k處分開，將矩陣鏈分爲Ai~Ak和Ak+1到Aj兩塊，那麼咱們能夠比較容易的給出m[i][j]從k處分隔的公式：

m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j]；

在一組肯定的i和j值的狀況下，要使m[i][j]的值最小，咱們只要在全部的k取值中，i<=k<j，尋找一個讓m[i][j]最小的值便可。

假設L爲矩陣鏈的長度，那麼L=j-i+1。當L=1時，只有一個矩陣，不須要計算。那麼咱們能夠從L=2到n進行循環，對每一個合理的i和j值的組合，遍歷全部k值對應的m[i][j]值，將最小的一個記錄下來，存儲到m[i][j]中，並將對應的k存儲到s[i][j]中，就獲得了咱們想要的結果。

　　根據上面的分析，不難給出過程的代碼，注意這裏使用的自底向上的方法：

 1 //Ai矩陣的行列分別是p[i-1]和p[i],1<=i<=n  
 2   
 3 /* 
 4  * 求解最少次數的乘法括號劃分方案 
 5  */  
 6 void Matrix_Chain(int* p, int n, int** m, int** s) {  
 7   
 8     //①將對角線上的值先賦值爲0  
 9     for (int i = 1; i <= n; i++) {  
10         m[i][i] = 0;  
11     }  
12   
13     int l = 0; //l爲矩陣鏈的長度  
14   
15     //m[i][j]的第一個參數  
16         int i = 0;  
17   
18     //m[i][j]的第二個參數  
19     int j = 0;  
20   
21   
22   
23     int tmp = 0;  
24   
25     //②以長度L爲劃分，L從2開始到n  
26     for (l = 2; l <= n; l++) {  
27   
28         //循環第一個參數，由於l的長度至少爲2，因此i和j在這個循環裏面確定不相等  
29         for (i = 1; i <= n - l + 1; i++) {  
30             //由於j-i+1=l，因此j=l+i-1  
31             j = i + l - 1;  
32   
33             //給m[i][j]賦初值，這裏要尋找m[i][j]的最小值，原本應當給m[i][j]賦值一個正無窮，可是這裏直接賦一個i=j時候的特值也能夠  
34             m[i][j] = m[i][i] + m[i + 1][j] + p[i - 1] * p[i] * p[j];  
35             s[i][j] = i;  
36   
37             //對於每一個特定的i和j的組合，遍歷此時全部的合適k值，k大於等於i小於j  
38             for (int k = i + 1; k < j; k++) { //這裏k不能等於j，由於後面要m[k+1][j]，否則k+1就比j大了  
39   
40                 tmp = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j];  
41   
42                 if (tmp < m[i][j]) {  
43                     m[i][j] = tmp;  
44                     s[i][j] = k;  
45                 }  
46             }  
47         }  
48     }  
49 }

通過上面的代碼，咱們就求得了每種i和j組合對應的最小乘法次數m[i][j]和對應的最佳分割處s[i][j]。

3、輸出最優構造劃分:

通過運行上面的代碼，咱們就準備好了s[i][j]，其中包含最佳分割信息。咱們可使用一種相似於中序遍歷的方法來輸出劃分方式，好比對<A1,A2,A3,A4,A5>和他們對應的下標數組p而言。

void print_optimal_parens(int** s, int i, int j) {  
    if (i == j) {  
        cout << "A" << i;  
    } else {  
        cout << "(";  
        print_optimal_parens(s, i, s[i][j]);  
        print_optimal_parens(s, s[i][j] + 1, j);  
        cout << ")";  
    }  
}