機器學習 – 練習題

   

Q1-1：一段1米長的繩子 隨機切兩刀 分紅三段 求可以組合成一個三角形的機率

 

不妨設x爲兩個切點座標中的較小值，y爲較大值，x≠y

可能狀況的全體爲：

可能狀況全體構成的區域爲：

三角形三邊關係：

三條邊的長度分別爲：x, y-x, 1-y

則：x+y-x>1-y

y-x+1-y>x

1-y+x>y-x

整理得：

y>0.5

x<0.5

y-x<0.5

該事件的可行域是：

所以，能組成三角形的機率是0.25

   

解法二：設切下來的兩段長度分別爲x，y

事件全體構成的區域表示爲：

x>0且

y>0且

1-x-y>0

三角形三邊關係：

x+y>1-x-y

y+1-x-y>x

1-x-y+x>y

如圖：

   

解法三：微積分法

分狀況討論：

1. 0<x<y<1
2. 0<y<x<1

若x<y，則根據三邊關係，有：

x<0.5

y>0.5

y-x<0.5

若x>y，則根據三邊關係，有

x>0.5

y<0.5

x-y<0.5

以狀況一爲例：

x服從[0, 0.5]上的均勻分佈

y的取值知足條件0.5<y<0.5+x

取積分：

乘以2，得0.25

   

對微積分法的解釋：

第一步：在[0, 1]上投擲點x，假設x落點是隨機的，機率就是1

第二步：x落點肯定以後，隨機投擲y

y的可能取值也是[0, 1]

第三步：x分狀況討論，x<0.5 + x>0.5

1. x<0.5：

知足條件的y的區間是[0.5, x+0.5]（根據三角形三邊關係肯定的）

該區間長度爲x，點y落在該區間內的機率是x/1 = x

2. x>0.5：同理

注意：假設線段長度爲10，則應用上述微積分表達式時，注意使用雅可比係數（1/10）

 

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2019年9月30日  於南湖湖畔