矩陣結合律的證實-2019.11.29

學習日誌—矩陣
矩陣的乘法
證實矩陣乘法的結合律，即證A(BC)=(AB)C
先令出三個矩陣

A_{mn}; B_{np}; C_(p*q)

先看等式右邊(AB)C
新矩陣第i行第j列的元素就是AB相乘後的第i行與C的第j列各元素相乘的和
A的第i行乘以B的第1列以下：

\begin{equation}
\left[
\begin{array}{cccc}
a_{i1} & a_{i2} & … & a_{in}
\end{array}
\right ]
\left[
\begin{array}{c}
b_{11}\
b_{12}\
... \
b_{1n}
\end{array}
\right ]
\end{equation}

因此AB的第i行的n個元素就是A的第i行乘上B的每一列。（AB）C的第（i，j）個元素計算以下：

\begin{equation}
(AB)C_{(i,j)}
=
(\sum_{r=1}^n a_{ir}b_{r1}, \sum_{r=1}^n a_{ir}b_{r2}, …, \sum_{r=1}^n a_{ir}b_{rp})
\left(
\begin{array}{c}
c_{1j}\
c_{2j}\
…\
c_{rj}
\end{array}
\right)
\
=c_{1j}(\sum_{r=1}^n a_{ij}b_{ij})+ c_{2j}(\sum_{r=1}^n a_{ij}b_{ij})+…+ c_{qj}(\sum_{r=1}^n a_{ij}b_{ij})\
=
\sum_{k=1}^q c_{kj}\sum_{r=1}^n(a_{ir}b_{rk})\
=
\sum_{k=1}^q \sum_{r=1}^n c_{kj}(a_{ir}b_{rk}) %調換了一下位置
\end{equation}

因此BC的第i列的n個元素就是B的第每一行乘上C的第i列。A（BC）的第（i，j）個元素計算以下：

\begin{equation}
A(BC){(i,j)} = \left( \begin{array}{cccc} a{i1} & a_{i2} & ... & a_{ir} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \sum_{k=1}^p\ b_{1k}c_{kj}\ \sum_{k=1}^p\ b_{2k}c_{kj}\ ...\ \sum_{k=1}^p\ b_{nk}c_{kj} \end{array} \right) = \sum_{k=1}^p \sum_{r=1}^n a_{ir}b_{rk}c_{kj} \end{equation}