[Reinforcement Learning] Model-Free Control

上篇總結了 Model-Free Predict 問題及方法，本文內容介紹 Model-Free Control 方法，即 "Optimise the value function of an unknown MDP"。

在這裏說明下，Model-Free Predict/Control 不只適用於 Model-Free 的狀況，其一樣適用於 MDP 已知的問題：

• MDP model is unknown, but experience can be sampled.
• MDP model is known, but is too big to use, except by samples.

在正式介紹 Model-Free Control 方法以前，咱們先介紹下 On-policy Learning 及 Off-policy Learning。

On-policy Learning vs. Off-policy Learning

On-policy Learning：

• "Learn on the job"
• Learn about policy \(\pi\) from experience sampled from \(\pi\)（即採樣的策略與學習的策略一致）

Off-policy Learning：

• "Look over someone's shoulder"
• Learn about policy \(\pi\) from experience sampled from \(\mu\)（即採樣的策略與學習的策略不一致）

On-Policy Monte-Carlo Learning

Generalized Policy Iteration

具體的 Control 方法，在《動態規劃》一文中咱們提到了 Model-based 下的廣義策略迭代 GPI 框架，那在 Model-Free 狀況下是否一樣適用呢？
以下圖爲 Model-based 下的廣義策略迭代 GPI 框架，主要分兩部分：策略評估及基於 Greedy 策略的策略提高。

Model-Free 策略評估

在《Model-Free Predict》中咱們分別介紹了兩種 Model-Free 的策略評估方法：MC 和 TD。咱們先討論使用 MC 狀況下的 Model-Free 策略評估。
如上圖GPI框架所示：

• 基於 \(V(s)\) 的貪婪策略提高須要 MDP 已知：
  \[\pi'(s) = \arg\max_{a\in A}\Bigl(R_{s}^{a}+P_{ss'}^{a}V(s')\Bigr)\]
• 基於 \(Q(s, a)\) 的貪婪策略提高不須要 MDP 已知，即 Model-Free：
  \[\pi'(s) = \arg\max_{a\in A}Q(s, a)\]

所以 Model-Free 下須要對 \(Q(s, a)\) 策略評估，整個GPI策略迭代也要基於 \(Q(s, a)\)。

Model-Free 策略提高

肯定了策略評估的對象，那接下來要考慮的就是如何基於策略評估的結果 \(Q(s, a)\) 進行策略提高。
因爲 Model-Free 的策略評估基於對經驗的 samples（即評估的 \(q(s, a)\) 存在 bias），所以咱們在這裏不採用純粹的 greedy 策略，防止由於策略評估的誤差致使整個策略迭代進入局部最優，而是採用具備 explore 功能的 \(\epsilon\)-greedy 算法：
\[ \pi(a|s) = \begin{cases} &\frac{\epsilon}{m} + 1 - \epsilon, &\text{if } a^*=\arg\max_{a\in A}Q(s, a)\\ &\frac{\epsilon}{m}, &\text{otherwise} \end{cases} \]

所以，咱們肯定了 Model-Free 下的 Monto-Carlo Control：

GLIE

先直接貼下David的課件，GLIE 介紹以下：

對於 \(\epsilon\)-greedy 算法而言，若是 \(\epsilon\) 隨着迭代次數逐步減爲0，那麼 \(\epsilon\)-greedy 是 GLIE，即：
\[\epsilon_{k} = \frac{1}{k}\]

GLIE Monto-Carlo Control

GLIE Monto-Carlo Control：

• 對於 episode 中的每一個狀態 \(S_{t}\) 和動做 \(A_t\)：
  \[ N(S_t, A_t) ← N(S_t, A_t) + 1 \\ Q(S_t, A_t) ← Q(S_t, A_t) + \frac{1}{N(S_t, A_t)}(G_t - Q(S_t, A_t)) \]
• 基於新的動做價值函數提高策略：
  \[ \epsilon ← \frac{1}{k}\\ \pi ← \epsilon\text{-greedy}(Q) \]

定理：GLIE Monto-Carlo Control 收斂到最優的動做價值函數，即：\(Q(s, a) → q_*(s, a)\)。

On-Policy Temporal-Difference Learning

Sarsa

咱們以前總結過 TD 相對 MC 的優點：

• 低方差
• Online
• 非完整序列

那麼一個很天然的想法就是在整個控制閉環中用 TD 代替 MC：

• 使用 TD 來計算 \(Q(S, A)\)
• 仍然使用 \(\epsilon\)-greedy 策略提高
• 每個 step 進行更新

經過上述改變就使得 On-Policy 的蒙特卡洛方法變成了著名的 Sarsa。

• 更新動做價值函數
  
  
  
  
• Control
  
  
  
  

Sarsa算法的僞代碼以下：

Sarsa(λ)

n-step Sarsa returns 能夠表示以下：
\(n=1\) 時：\(q_{t}^{(1)} = R_{t+1} + \gamma Q(S_{t+1})\)
\(n=2\) 時：\(q_{t}^{(2)} = R_{t+1} + \gamma R_{t+2} + \gamma^2 Q(S_{t+2})\)
...
\(n=\infty\) 時：\(q_{t}^{\infty} = R_{t+1} + \gamma R_{t+2} + ... + \gamma^{T-1} R_T\)
所以，n-step return \(q_{t}^{(n)} = R_{t+1} + \gamma R_{t+2} + ... + \gamma^{n}Q(S_{t+n})\)

n-step Sarsa 更新公式：
\[Q(S_t, A_t) ← Q(S_t, A_t) + \alpha (q_t^{(n)} - Q(S_t, A_t))\]

具體的 Sarsa(λ) 算法僞代碼以下：

其中 \(E(s, a)\) 爲資格跡。

下圖爲 Sarsa(λ) 用於 Gridworld 例子的示意圖：

Off-Policy Learning

Off-Policy Learning 的特色是評估目標策略 \(\pi(a|s)\) 來計算 \(v_{\pi}(s)\) 或者 \(q_{\pi}(s, a)\)，可是跟隨行爲策略 \(\{S_1, A_1, R_2, ..., S_T\}\sim\mu(a|s)\)。

Off-Policy Learning 有什麼意義？

• Learn from observing humans or other agents
• Re-use experience generated from old policies \(\pi_1, \pi_2, ..., \pi_{t-1}\)
• Learn about optimal policy while following exploratory policy
• Learn about multiple policies while following one policy

重要性採樣

重要性採樣的目的是：Estimate the expectation of a different distribution。
\[ \begin{align} E_{X\sim P}[f(X)] &= \sum P(X)f(X)\\ &= \sum Q(X)\frac{P(X)}{Q(X)}f(X)\\ &= E_{X\sim Q}[\frac{P(X)}{Q(X)}f(X)] \end{align} \]

Off-Policy MC 重要性採樣

使用策略 \(\pi\) 產生的 return 來評估 \(\mu\)：
\[G_t^{\pi/\mu} = \frac{\pi(A_t|S_t)}{\mu(A_t|S_t)} \frac{\pi(A_{t+1}|S_{t+1})}{\mu(A_{t+1}|S_{t+1})}...\frac{\pi(A_T|S_T)}{\mu(A_T|S_T)}G_t\]

朝着正確的 return 方向去更新價值：
\[V(S_t) ← V(S_t) + \alpha\Bigl(\color{Red}{G_t^{\pi/\mu}}-V(S_t)\Bigr)\]

須要注意兩點：

• Cannot use if \(\mu\) is zero when \(\pi\) is non-zero
• 重要性採樣會顯著性地提高方差

Off-Policy TD 重要性採樣

TD 是單步的，因此使用策略 \(\pi\) 產生的 TD targets 來評估 \(\mu\)：
\[V(S_t) ← V(S_t) + \alpha\Bigl(\frac{\pi(A_t|S_t)}{\mu(A_t|S_t)}(R_{t+1}+\gamma V(S_{t+1}))-V(S_t)\Bigr)\]

• 方差比MC版本的重要性採樣低不少

Q-Learning

前面分別介紹了對價值函數 \(V(s)\) 進行 off-policy 學習，如今咱們討論如何對動做價值函數 \(Q(s, a)\) 進行 off-policy 學習：

• 不須要重要性採樣
• 使用行爲策略選出下一步的動做：\(A_{t+1}\sim\mu(·|S_t)\)
• 可是仍須要考慮另外一個後繼動做：\(A'\sim\pi(·|S_t)\)
• 朝着另外一個後繼動做的價值更新 \(Q(S_t, A_t)\)：
  \[Q(S_t, A_t) ← Q(S_t, A_t) + \alpha\Bigl(R_{t+1}+\gamma Q(S_{t+1}, A')-Q(S_t, A_t)\Bigr)\]

討論完對動做價值函數的學習，咱們接着看如何經過 Q-Learning 進行 Control：

• 行爲策略和目標策略均改進
• 目標策略 \(\pi\) 以greedy方式改進：
  \[\pi(S_t) = \arg\max_{a'}Q(S_{t+1}, a')\]
• 行爲策略 \(\mu\) 以 \(\epsilon\)-greedy 方式改進
• Q-Learning target：
  \[ \begin{align} &R_{t+1}+\gamma Q(S_{t+1}, A')\\ =&R_{t+1}+\gamma Q\Bigl(S_{t+1}, \arg\max_{a'}Q(S_{t+1}, a')\Bigr)\\ =&R_{t+1}+\max_{a'}\gamma Q(S_{t+1}, a') \end{align} \]

Q-Learning 的 backup tree 以下所示：

關於 Q-Learning 的結論：

Q-learning control converges to the optimal action-value function, \(Q(s, a)→q_*(s, a)\)

Q-Learning 算法具體的僞代碼以下：

對比 Sarsa 與 Q-Learning 能夠發現兩個最重要的區別：

• TD target 公式不一樣
• Q-Learning 中下一步的動做從行爲策略中選出，而不是目標策略

DP vs. TD

二者的區別見下表：

Reference

[1] Reinforcement Learning: An Introduction, Richard S. Sutton and Andrew G. Barto, 2018
[2] David Silver's Homepage