從遞歸到動態規劃（三）最長公共子序列

之前看到這種問題的時候，以爲這種問題仍是挺無聊的，雖然作出來後本身會聽激動的，但不少時候不知道這有什麼用。今天看到《算法導論》那裏提到這個用來搞兩條 DNA 的比較，頓時就以爲這種問題仍是挺有意思。

問題是這樣的，有一個 DNA s1 是 "ACCGG" ，另外一條 DNA s2 是 "GTCGT"，求最大的公共子序列，能夠不連續的。

。。。

先思考一下。

暴力遍歷

首先，想到的解決方法通常都是暴力破解的。先求出全部 s1 的全部子序列，再求出 s2 的全部子序列。而後經過對比最後得到最長的公共子序列。

固然這時間複雜度也是挺感人的，假如 s1 的長度是 m，s2 的長度是 n。用相似 2 進制能夠表示全部數的思想，可知求出 s1 的全部子序列的複雜讀是 O(2^m)，可求出 s2 的全部子序列的複雜度是 O(2^n),而遍歷對比的複雜度是 O(2^m*n)

...

這複雜度太難以接受了。。。

遞歸

若是是樹形遞歸的思想呢？

樹形遞歸的思想是這樣的，假如 s1[0:i-1] 與 s2[0:j-1] 之間有一條最長的公共子序列 seq 若是 s1[i] == s2[j] ，那麼最長公共子序列就是 seq + s1[i] 若是不相等，最長公共子序列就是 LCS(s1[0:i]，s2[0:j-1]) 或者是 LSC(s1[0:i-1], s2[0:j]) 中取最長。 那麼是何時結束呢？應該是 i < 0 或者 j < 0 吧。

因此若是用遞歸很容易寫出這樣的代碼

string lcs(string s1, string s2, int i, int j) {
  if (i < 0 || j < 0)
    return "";
  else if (s1[i] == s2[j])
    return lcs(s1, s2, i - 1, j - 1) + s1[i];
  else {
    string p1 = lcs(s1, s2, i - 1, j);
    string p2 = lcs(s1, s2, i, j - 1);
    if (p1.length() > p2.length()) {
      return p1;
    }
    return p2;
  }
}

string lcs(string s1, string s2) {
  return lcs(s1, s2, s1.length() - 1, s2.length() - 1);
}
複製代碼

這固然是一如既往的有重複計算的問題的。若是用動態規劃的思想。大概會是這樣。

就比較容易寫出這樣的代碼。

int lcs2(string s1, string s2) {
  int m = s1.length();
  int n = s2.length();

  vector<vector<int>> c(m + 1, vector<int>(n + 1));

  for (int i = 0; i < m + 1; i++) {
    for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
      if (i == 0 || j == 0)
        c[i][j] = 0;
      //算法導論字符串是從1開始的，因此這裏要減一
      //也方便後續的操做
      else if (s1[i - 1] == s2[j - 1])
        c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1 ;
      else
        c[i][j] = max(c[i - 1][j], c[i][j - 1]);
    }
  }
  return c[m][n];
}
複製代碼

可是這樣的操做只能說求出了最長公共子序列的長度。並無將序列求出來了。 求出序列簡單，按照原來的思路再遍歷一次就能夠了

1. 從底向上遍歷 若是 s1[m-1] == s2[n-1] 就說明 c[m]][n] 是最長自序列的一個元素，不然就根據大小決定是向左仍是向上走。

string res = "";
int i = m;
int j = n;
    
while (i > 0 && j > 0) {
    if (s1[i - 1] == s2[j - 1]) {
        res = s1[i - 1] + res;
        j--;
        i--;
    } else if(c[i-1][j] > s2[i][j-1]){
        i--;
    }else {
        j--;
    }
}
return res;
複製代碼

2. 自頂向下遍歷。

若是 s1[i-1] == s2[j-1] 就說明最長自序列的一個元素，就 i++,j++ ，向右下角走。 不然對比右邊和下邊哪邊打就走哪邊。

string res = "";
int i = 1;
int j = 1;

while (i < m && j < n) {
    if (s1[i - 1] == s2[j - 1]) {
        res = res + s1[i - 1];
        j++;
        i++;
    } else if (c[i + 1][j] >= c[i][j + 1]) {
         i++;
    } else {
        j++;
    }
  }

 return res;
複製代碼