動態規劃法解最長公共子序列問題

      [問題]一個給定序列的子序列是指在該序列中刪除若干元素後所得的序列，但刪除過程當中不能打亂元素的順序。例如序列{B,C,A,B}是序列X={A,B,C,B,D,A,B}與序列Y={B,D,C,A,B,A}的一個最長公共子序列。給定序列X={x₁,x₂,……,x_m}與序列Y={y₁,y₂,……,y_n}，求其最長公共子序列的長度

      [解析]設序列X={x₁,x₂,……,x_m}與序列Y={y₁,y₂,……,y_n}的最長公共子序列爲序列Z={z₁,z₂,……,z_k}，則有以下結論(都可由反證法證實)

       (1)若x_m=y_n，則 z_k=x_m=y_n，且序列Z_k-1是序列X_m-1和序列Y_n-1的最長公共子序列

       (2)若x_m≠y_n，且 z_k≠x_m，則序列Z是序列X_m-1和序列Y的最長公共子序列

       (3)若x_m≠y_n，且 z_k≠y_n，則序列Z是序列X和序列Y_n-1的最長公共子序列

       由此可知，該問題具備最優子結構性質。遞推式以下：

       設序列X和序列Y的最長公共子序列的長度爲f(m)(n)，則

       (1)若x_m=y_n，則f(m)(n) = f(m-1)(n-1) + 1

       (2)若x_m≠y_n，則f(m)(n) = Max{f(m-1)(n),f(m)(n-1)}