算法妙應用-算法的複雜度

0、什麼是算法的複雜度？

對於任何一個程序來講，均可以從三個方面進行分析，分別是 輸入、處理、輸出，也即 IPO（Input、Process、Output），這種分析方法對硬件和軟件程序都是適用的。

數據的來源（Input）：能夠是硬件傳感器收集的，也能夠是從網上爬取的...。數據的輸出（Output）：能夠顯示在網頁上，安卓APP上，電子屏幕上...。而最重要的是程序處理，能夠對數據進行簡單的處理，也能夠對數據進行挖掘...。

就拿最簡單的 Hello World 程序來講，也是由這三方面組成的，輸出函數（處理）幫你處理輸入的 「Hello World」 字符串（輸入），而後再幫你將這些字符輸出顯示到控制檯上（輸出）。大到如今熱門的技術，物聯網、大數據，人工智能等，作的也無非都是上面三個方面內的事情，關於這些，讀者能夠思考一下。

評價一個程序的複雜程度，關鍵也是看程序中處理數據的這部分，對數據處理就要用到算法了。什麼？你說你沒有用過算法，其實從你編程開始的第一句 「Hello World」 就註定編程和算法分不開了，一個輸出函數背後也一樣有算法呀，只是你在使用算法的時候並無意識到你在用算法罷了（嘿嘿，就是這麼神奇~）。

算法是一個程序的靈魂，就比如沒有蛋的泡麪是沒有靈魂的同樣。一個好的算法能夠有不少的應用，好比在美劇《硅谷》中，主角發明了一種壓縮算法，將它用在音樂、雲存儲、視頻等方面都大獲成功。雖然故事是虛構的，可是在一方面也說明了算法的重要性。

分析一個算法的複雜度，也是在分析一個算法的好壞優劣，簡單高效的算法纔是咱們應該追求的，而複雜低效的算法則是咱們須要改進的。算法的複雜度包括 時間複雜度 和 空間複雜度，下面將用盡可能少的概念來幫你搞懂這兩個度。

一、什麼是算法的時間複雜度？

討論算法的時間複雜度，也是在討論程序使用該算法運行的時間。常常聽到身邊的同窗說個人電腦好慢呀，打開個軟件都要一分多鐘，急死人了。這從算法的角度看，只能說電腦硬件比較差，不必定說程序寫的很垃圾（固然也有可能有程序的鍋），一樣的程序可能在別人配置高的電腦上打開就很快。因此你看單純從程序運行須要的時間長短上，並不能反映算法的優劣，由於這和運行的設備也有很大關係（計算機計算主要用到的是 CPU 和 GPU）。

算法的時間複雜度並不能以具體的時間數值爲單位（如1秒鐘，1分鐘等），那算法複雜度中的時間單位是什麼呢？這個時間單位其實更像是程序中執行的次數或者步驟數。

舉個栗子，當你忘記東西放哪裏了，可能會把全部的抽屜都找一遍，假如你有 n 個抽屜，那麼找完 n 個抽屜就能夠找到你的東西了，每一個抽屜都找了一遍，就找了 n 遍。算法的時間複雜度（運行時間）用大 O 表示（不須要關心大 O 表示法怎麼來的，就是個名字），把你找東西的這個過程寫成程序，算法的時間複雜度就是 O(n)，是否是感受算法其實就在咱們中間。

在上面這個例子中，最好的狀況是，當你找完第一個抽屜，你就找到你的東西了，這固然是最好的了，用大 O 表示法表示就是 O(1)，可是這樣的狀況存在偶然性，並不能表明算法的複雜度；最壞的狀況是，直到你找完最後一個抽屜，累的要死，你才找到你的東西，用大 O 表示法表示就是 O(n)。位於最壞和最好之間的狀況是，當你找到中間一個抽屜時，你找到的你的東西了，用大 O 表示法表示就是 O(n/2)。

那麼這三種狀況，哪種應該表明算法的時間複雜度呢？最好的狀況畢竟是小几率事件，不具備普適性，確定是不能表明算法真實的時間複雜度。平均的狀況，確實在必定程度上能夠反映出算法的時間複雜度，可是學過數學的咱們知道，平均值容易受到極端值的影響（在評委打分時也常常是去掉最高分和最低分），因此平均狀況也不是很合適。而最壞的狀況卻能夠給咱們一種保證，咱們內心也能夠有一個預期，這個算法在最差的狀況下表現如何（就像咱們作事也經常考慮最壞的狀況同樣），因此咱們用最壞狀況下的時間複雜度來衡量算法的時間複雜度。

對於大 O 括號內的參數（或者稱爲操做數）的係數，每每被咱們主動忽略，如一個計算出所需次數爲 n/2 的算法，用大 O 表示法表示是 O(n)，而對於計算次數是個常數（如 1，5， 9）的算法，用大 O 表示法表示都是 O(1)，這點是須要咱們注意一下的。爲何這樣作呢？由於對於計算次數是 n2/2 + n/2 + 5 這樣的算法，起決定做用的是 n，而不是 n 前面的係數，當 n 爲無窮大時，n 前面係數的影響就微不足道了，最終這個算法的時間複雜度用大 O 表示法爲 O(n2 + n)。

二、什麼是算法的空間複雜度？

程序運行時確定是要消耗空間資源的，寄存器、內存和磁盤等。輸入和輸出這兩部分佔用空間是必需的，因此程序處理的空間指的是程序運行算法時所需的那部分空間。先來看個例子，交換兩個數的值，相信你們都作過吧，通常的方法是找一箇中間變量存儲其中一個數的值，再讓一個數等於另外一個數的值，另一個數等於中間變量的值，就像下面的僞代碼這樣。

// 交換 a 和 b
temp = a
a = b
b = temp
複製代碼

棧這種數據結構，我都應該很熟悉，特色是先進後出（FILO），交換的這兩個數確定都是要放在棧中的，但因爲引入了中間變量實現，因此在程序棧中還要有中間變量的空間，一個變量佔用一塊棧空間（想象一下），咱們用一個格子來表示，就像下面這樣，中間變量也要佔用一個格子（其實這個格子在其餘棧中叫作 幀，如 Java虛擬機的本地方法棧和虛擬機棧，幀又是一種數據結構）。

由於這個值交換算法用到了中間變量，而中間變量又要佔用一個格子，因此這個算法的空間複雜度用大 O 表示法表示就是 O(1)。

相比較而言，算法的空間複雜度比較簡單，因此咱們在討論一個算法時，更多的是討論算法的時間複雜度。

三、一些常見的大 O 運行時間

• O(1)，如 y = x + 1，只須要一次計算即可獲得結果。
• O(logn)，也稱爲對數時間，如二分查找算法。
• O(n)，也稱爲線性時間，如咱們上面例子中的找東西，用的就是簡單查找算法。
• O(n*logn)，如快速排序算法。
• O(n2)，如選擇排序算法。
• O(n!)，如著名的旅行商問題。

這裏提到的算法，將在後面的文章中討論，感興趣的小夥伴不妨先搜索瞭解一下。

上面幾種大 O 運行時間，反應在圖中以下（注意：圖中曲線並不必定從原點開始畫的，只須要知道算法運行時間的大概走勢就能夠了）：

算法的速度，指的並非時間，而是增速，反應的在圖中就是曲線的斜率，能夠看到，隨着輸入的增長，有的算法所須要的時間越來長，也就是使用這種算法的程序會愈來愈慢。

四、小結

算法的複雜度和須要的時間、空間都有關係，咱們更多談論的是算法的時間複雜度，算法的時間複雜度不是以秒爲單位，算法運行的速度是從其增速的角度度量的，也便是輸入越多，算法運行的時間改變的快慢。一個好的算法應該是時間複雜度和空間複雜度都比較低，通俗的說就是花最少的時間和精力達到最好的效果，可是這兩樣每每是很難同時作到的，這就須要咱們犧牲同樣來作到儘量的更好。

——本文轉自個人微信公衆號《編程心路》。