[LeetCode] 829. Consecutive Numbers Sum 連續數字之和

Given a positive integer N, how many ways can we write it as a sum of consecutive positive integers?

Example 1:

Input: 5
Output: 2
Explanation: 5 = 5 = 2 + 3

Example 2:

Input: 9
Output: 3
Explanation: 9 = 9 = 4 + 5 = 2 + 3 + 4

Example 3:

Input: 15
Output: 4
Explanation: 15 = 15 = 8 + 7 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

Note: 1 <= N <= 10 ^ 9.

這道題給了一個正整數N，問N能寫成多少種連續正整數之和，好比9能夠寫成 4+5，或者 2+3+4。這道題其實很差作，由於沒有固定的算法能夠套，而更多的考察是數學知識，並且比較難想。因爲要寫成連續正整數之和，則確定是一個等差數列，而且差值爲1，這個等差數列沒必要從1開始，假設其是從x開始的，且個數共有k個，則能夠寫出這個等差數列爲：

x, x+1, x+2, ..., x+k-1

其和爲N，根據等差數列的求和公式，能夠寫出下列等式：

kx + (k-1)k / 2 = N

變形後可獲得：

kx = N - (k-1)k / 2

這樣，只要對於任意一個k值，x能獲得正整數解，就表示必定會有一個對應的等差數列和爲N。下面要來求k的範圍，因爲k是等差數列的長度，首先確定是要大於0的，這是下限。求上限仍是要利用上面的那個式子，因爲x也必須是正整數，能夠獲得不等式：

N - (k-1)k / 2 > 0

從而獲得近似解：

k < sqrt(2N)

有了k的範圍就能夠開始遍歷了，首先數字N自己也是符合題意的，能夠看做是長度爲1的等差數列，則 res 能夠初始化爲1，而後i從2遍歷到 sqrt(2N)，對於每一個i值，只要 (N - i(i-1)/2) 能整除i，就表示存在長度爲i的等差數列和爲N，結果 res 自增1，這樣就能夠求出全部符合題意的等差數列的個數，參見代碼以下：

解法一：

class Solution {
public:
    int consecutiveNumbersSum(int N) {
        int res = 1;
        for (int i = 2; i < sqrt(2 * N); ++i) {
            if ((N - i * (i - 1) / 2) % i == 0) ++res;
        }
        return res;
    }
};

還能夠換一種寫法，核心思路仍是跟上面的解法相同，要找是否存在和爲N的等差數列，根據上面的分析，須要看等差數列的起始值x是否爲整數，若這個等差數列每一個數字都減去一個 x-1，就變成了一個從1開始的差值爲1的等差數列，那就讓i從1開始遍歷，用一個變量 sum，每次都加上i值，這樣就至關於計算了這個等差數列的和，而後每次看 N-sum 是否能整除i，能的話就代表存在長度爲i的等差數列和爲N，參見代碼以下：

解法二：

class Solution {
public:
    int consecutiveNumbersSum(int N) {
        int res = 0, sum = 0;
        for (int i = 1; sum < N; ++i) {
            sum += i;
            if ((N - sum) % i == 0) ++res;
        }
        return res;
    }
};

Github 同步地址:

https://github.com/grandyang/leetcode/issues/829

參考資料：

https://leetcode.com/problems/consecutive-numbers-sum/

https://leetcode.com/problems/consecutive-numbers-sum/discuss/129227/JAVA-easy-4-lines-O(n0.5)

https://leetcode.com/problems/consecutive-numbers-sum/discuss/128959/5-line-O(N-0.5)-Java-code-Math-method

https://leetcode.com/problems/consecutive-numbers-sum/discuss/129015/5-lines-C%2B%2B-solution-with-detailed-mathematical-explanation.

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