複雜度分析的套路及常見的複雜度

前言

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你好，我是彤哥，一個天天爬二十六層樓還不忘讀源碼的硬核男人。

上一節，咱們一塊兒學習了表示複雜度的幾個符號，咱們說，一般使用大O來表示算法的複雜度，不只合理，並且書寫方便。

那麼，使用大O表示法評估算法的複雜度有沒有什麼套路呢？以及常見的複雜度有哪些呢？

本節，咱們就來解決這兩個問題。

前情回顧

在正式講解套路以前，咱們先回憶一下前面幾節講到的內容。

在第2節，咱們學習了漸近分析法，將算法的複雜度與輸入規模掛鉤，隨着輸入規模的增大，算法執行的時間將呈現一種什麼樣的趨勢，將這個趨勢用函數表示，再去除低階項和常數項，就獲得了算法的時間複雜度。

在第3節，咱們分別從最壞、平均、最好三種狀況來分析了算法的複雜度，得出結論，通常使用最壞狀況來評估算法的複雜度。

在第4節，咱們經過動態數組的插入元素及經典快速排序的時間複雜度，解釋了有的時候不能使用最壞狀況來評估算法的複雜度。

在第5節，咱們從讀音、數學、通俗理解三個方面分析了各類表示算法複雜度的符號，得出結論仍是使用大O比較香，大O表明了算法的上界，它與前面講到的最壞狀況每每是對應的。

因此，這裏所說的套路也是針對大部分狀況，也就是最壞狀況，對於一些個例，好比經典快排，咱們雖然也是使用大O表示他們的複雜度，可是，實際上是一種均攤的複雜度。

好了，讓咱們看看計算算法複雜度的套路究竟是什麼吧。

套路

我將計算算法複雜度的套路概括爲如下五步：

1. 明確輸入規模n；
2. 考慮最壞狀況或均攤狀況，若是最壞狀況爲個例，那就是均攤；
3. 計算算法執行的次數與n的關係，並用函數表示出來；
4. 去除低階項；
5. 去除常數項；

好比，對於在數組中查找指定元素的操做：

1. 輸入規模爲數組的長度n；
2. 考慮最壞狀況爲目標元素不在數組中；
3. 算法的執行次數爲遍歷全部數組元素，也就是n次，用函數表示f(n) = n；
4. 去除低階項，沒有低階項，仍是n；
5. 去除常數項，沒有常數項，仍是n；

因此，在數組中查找指定元素的時間複雜度爲O(n)。

OK，使用這種方式能夠很快的計算出算法的複雜度，也不須要進行額外的計算，很是快捷高效。

常見的複雜度

上面咱們說了，複雜度的計算就是計算與輸入規模n的關係，因此，咱們想一想數學中關於n的函數就能得出常見的複雜度了，我繪製了一張表格：

與n的關係	英文釋義	複雜度	示例
常數（不相關）	Constant	O(1)	數組按索引查找元素
對數相關	Logarithmic	O(logn)	二分查找
線性相關	Linear	O(n)	遍歷數組的元素
超線性相關	Superlinear	O(nlogn)	歸併排序、堆排序
多項式相關	Polynomial	O(n^c)	冒泡排序、插入排序、選擇排序
指數相關	Exponential	O(c^n)	漢諾塔
階乘相關	Factorial	O(n!)	行列式展開
n的n次方	無	O(n^n)	不知道有沒有這種算法

在這張表中，複雜度是依次增長的，能夠看到常數複雜度O(1)無疑是最好的，讓咱們用一張圖來直觀感覺下：

後記

本節，咱們一塊兒學習了複雜度分析的套路以及常見的複雜度，到目前爲止，咱們無論是舉例仍是講解基本上都在說時間複雜度。

那麼，空間複雜度又是什麼呢？空間與時間之間如何權衡呢？

下一節，咱們接着聊。

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