仿射變換及其變換矩陣的理解

目錄

• 寫在前面
• 仿射變換：平移、旋轉、放縮、剪切、反射
• 變換矩陣形式
• 變換矩陣的理解與記憶
• 變換矩陣的參數估計
• 參考

博客：blog.shinelee.me | 博客園 | CSDN

寫在前面

2D圖像常見的座標變換以下圖所示：

這篇文章不包含透視變換（projective/perspective transformation），而將重點放在仿射變換（affine transformation），將介紹仿射變換所包含的各類變換，以及變換矩陣該如何理解記憶。

仿射變換：平移、旋轉、放縮、剪切、反射

仿射變換包括以下全部變換，以及這些變換任意次序次數的組合：

平移（translation）和旋轉（rotation）顧名思義，二者的組合稱之爲歐式變換（Euclidean transformation）或剛體變換（rigid transformation）；

放縮（scaling）可進一步分爲uniform scaling和non-uniform scaling，前者每一個座標軸放縮係數相同（各向同性），後者不一樣；若是放縮係數爲負，則會疊加上反射（reflection）——reflection能夠當作是特殊的scaling；

剛體變換+uniform scaling 稱之爲，類似變換（similarity transformation），即平移+旋轉+各向同性的放縮；

剪切變換（shear mapping）將全部點沿某一指定方向成比例地平移，語言描述不如上面圖示直觀。

各類變換間的關係以下面的venn圖所示：

經過變換矩陣能夠更清晰地看出這些變換間的關係和區別。

變換矩陣形式

沒有平移或者平移量爲0的全部仿射變換能夠用以下變換矩陣描述：

\[ \left[ \begin{array}{l}{x'} \\ {y'}\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{ll}{a} & {b} \\ {c} & {d}\end{array}\right] \left[ \begin{array}{l}{x} \\ {y}\end{array}\right] \]

不一樣變換對應的\(a, b, c, d\)約束不一樣，排除了平移變換的全部仿射變換爲線性變換（linear transformation），其涵蓋的變換如上面的venn圖所示，其特色是原點位置不變，屢次線性變換的結果還是線性變換。

爲了涵蓋平移，引入齊次座標，在原有2維座標的基礎上，增廣1個維度，以下所示：

\[ \left[ \begin{array}{l}{x^{\prime}} \\ {y^{\prime}} \\ {1}\end{array}\right] =\left[ \begin{array}{lll}{a} & {b} & {c}\\ {d} & {e} & {f} \end{array}\right] \left[ \begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {1}\end{array}\right] \]

因此，仿射變換的變換矩陣統一用 \(\left[ \begin{array}{lll}{a} & {b} & {c}\\ {d} & {e} & {f}\end{array}\right]\)來描述，不一樣基礎變換的\(a,b,c,d,e,f\)約束不一樣，以下所示：

此外，旋轉和平移相乘獲得剛體變換的變換矩陣，以下，有3個自由度（\(\theta, t_x, t_y\)），這裏旋轉方向爲逆時針方向，所以與上圖中的正負號不一樣，
\[ \left[ \begin{array}{ccc}{\cos (\theta)} & {-\sin (\theta)} & {t_{x}} \\ {\sin (\theta)} & {\cos (\theta)} & {t_{y}}\end{array}\right] \left[ \begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {1}\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{c}{x^{\prime}} \\ {y^{\prime}} \\ {1}\end{array}\right] \]

再乘上uniform scaling獲得類似變換，有4個自由度（\(s, \theta, t_x, t_y\)），以下：

\[ \left[ \begin{array}{ccc}{s\cos (\theta)} & {-s\sin (\theta)} & {t_{x}} \\ {s\sin (\theta)} & {s\cos (\theta)} & {t_{y}}\end{array}\right] \left[ \begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {1}\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{c}{x^{\prime}} \\ {y^{\prime}} \\ {1}\end{array}\right] \]

天然，仿射變換的變換矩陣有6個自由度（\(a,b,c,d,e,f\)）。

變換矩陣的理解與記憶

座標系由座標原點和基向量決定，座標原點和基向量肯定了，座標系也就肯定了。

對於座標系中的位置\((x, y)\)，其相對座標原點在\([1, 0]\)方向上的投影爲\(x\)，在\([0, 1]\)方向上的投影爲\(y\)——這裏投影的意思是過\((x, y)\)作座標軸的平行線與座標軸的交點到原點的距離，即\((x, y)\)實際爲：

\[\left[ \begin{array}{l}{x} \\ {y}\end{array}\right] = x\left[ \begin{array}{l}{1} \\ {0}\end{array}\right] + y\left[ \begin{array}{l}{0} \\ {1}\end{array}\right] = \left[ \begin{array}{ll}{1} & {0} \\ {0} & {1}\end{array}\right] \left[ \begin{array}{l}{x} \\ {y}\end{array}\right]\]

當座標系變化，座標系中的點也跟着變化，但點相對新座標系（\(x'-y'\)座標系）的位置不變仍爲\((x, y)\)，以旋轉變換爲例，新座標軸的基向量則變爲\([\cos (\theta), \sin (\theta)]\)和\([-\sin (\theta), \cos (\theta)]\)，因此點變化到新位置爲：

\[\left[ \begin{array}{l}{x'} \\ {y'}\end{array}\right] = x\left[ \begin{array}{l}{\cos (\theta)} \\ { \sin (\theta)}\end{array}\right] + y\left[ \begin{array}{r}{- \sin (\theta)} \\ { \cos (\theta)}\end{array}\right] = \left[ \begin{array}{lr}{\cos (\theta)} & {-\sin (\theta)} \\ {\sin (\theta)} & {\cos (\theta)}\end{array}\right] \left[ \begin{array}{l}{x} \\ {y}\end{array}\right]\]

新位置和新基向量是相對絕對座標系(\(x-y\)座標系）而言的。其餘變換矩陣同理。

總結一下：

• 全部變換矩陣只需關注一點：座標系的變化，即基向量和原點的變化；
• 座標系變化到哪裏，座標系中的全部點也跟着作一樣的變化；
• 座標系的變換分爲 基向量的變化 以及 座標原點的變化，在仿射變換矩陣 \(\left[ \begin{array}{lll}{a} & {b} & {c}\\ {d} & {e} & {f} \\ 0 & {0} & {1}\end{array}\right]\)中， \(\left[ \begin{array}{l}{a} \\ {d}\end{array}\right]\)和\(\left[ \begin{array}{l}{b} \\ {e}\end{array}\right]\)爲新的基向量，\(\left[ \begin{array}{l}{c} \\ {f}\end{array}\right]\)爲新的座標原點，先變化基向量，再變化座標原點；

這時再對照上面的各類變換矩陣，就很好理解了。

變換矩陣的參數估計

若是給定兩個對應點集，如何估計指定變換矩陣的參數？

一對對應點能夠列兩個線性方程，多個對應點能夠列出線性方程組，爲了求解參數，須要的對應點數至少爲自由度的一半，多個點時構成超定方程組，能夠基於最小二乘或者SVD分解等方法進行求解，這裏再也不展開。

參考

• Image Alignment and Stitching: A Tutorial
• wiki: Affine transformation
• Geometric Transformation
• Coordinates and Transformations
• Transformations
• Geometric Transformations
• Image Geometry