線性代數的動態觀-線性變換（三）

先談談非奇異矩陣下的特徵值和特徵向量，在前面已經提過類似變換了，類似矩陣說的是同一個類似變換在不一樣基下的表現形式，別看最後與具體的向量無關，但實際上類似矩陣是與向量對象、以及基緊密關聯的。而線性變換是與具體的基無關的，由於它變換的永遠都是座標向量，因此在研究線性變換矩陣的特徵向量和特徵值時能夠在全部的基下進行討論！

當把矩陣看成做用力的動態觀來看時，它會使向量（切記這個向量實際是座標向量）發生運動從而產生位置的變化，特徵向量是指矩陣對特徵向量的做用僅僅只會產生向量的拉伸與向量的方向顛倒(如從正向變成反向)，即A.x=.x，拉伸的大小就是特徵值。

非奇異矩陣的特徵向量是無關緊要的，好比二維平面上的旋轉矩陣就沒有特徵向量，從而也沒有特徵值；假若有特徵值和特徵向量每一個特徵值對應的特徵向量能夠是1個，也能夠是多個。特徵向量能夠構成特徵空間以及特徵子空間，當特徵向量個數爲矩陣的秩時能夠構成當前矩陣的基向量。小於秩的個數時不能構成基，可是它們能夠構成當前向量空間的特徵子空間，當特徵值對應的特徵向量是1個時，特徵子空間就是一條直線，爲多個時，特徵子空間就是二維平面、三維立方或者高維空間。因爲每一個特徵子空間中的全部向量都是特徵向量，都有相同的特徵值所以爲了方便討論通常都取單位向量！

對於非奇異矩陣且可對角化的矩陣A即或者（並非全部的非奇異矩陣都能對角化，由於要讓特徵向量構成基才行），在線性代數的動態觀-線性變換（二）中已經提到了類似矩陣，實際上對角化後的矩陣D與原始矩陣A互爲類似矩陣，此時P矩陣就是由特徵向量構成的基變換矩陣。矩陣A和D是同一個類似變換在不一樣基下的表示方式，但D是一個對角矩陣，做爲一個線性變換矩陣確實比通常的矩陣更簡潔。

如今將向量放在特徵向量空間中來研究一下變換矩陣對向量的做用狀況：

根據類似矩陣可知P是個基變換矩陣，若是原始基A是單位矩陣，那麼AP=P=B，此時由特徵向量構成的基變換矩陣P又能夠當作一個基。

X=P.X';

A.X=A.P.X`=P.D.X`;

A.A.X=A.P.D.X`=P.D.D.X`;

該例表示線性變換矩陣A對向量X連續做用的計算表達式，因爲D是個對角矩陣在計算量上比原先簡化了不少。

也可寫成

A.X=PDP-1.X

A.A.X=PDP-1.PDP-1.X=PDDP-1.X