集合的劃分——遞歸與函數自調用算法

題目描述 Description

設S是一個具備n個元素的集合，S＝｛a1，a2，……，an｝，現將S劃分紅k個知足下列條件的子集合S1，S2，……，Sk ，且知足：

則稱S1，S2，……，Sk是集合S的一個劃分。它至關於把S集合中的n個元素a1 ，a2，……，an 放入k個（0＜k≤n＜30＝無標號的盒子中，使得沒有一個盒子爲空。請你肯定n個元素a1 ，a2 ，……，an 放入k個無標號盒子中去的劃分數S(n，k)

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樣例測試點#1

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23 7

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思路：

先舉個例子，設S＝｛1，2，3，4｝，k＝3，不可貴出S有6種不一樣的劃分方案，即劃分數S(4，3)=6，具體方案爲：

｛1，2｝∪｛3｝∪｛4｝  ｛1，3｝∪｛2｝∪｛4｝    ｛1，4｝∪｛2｝∪｛3｝

｛2，3｝∪｛1｝∪｛4｝  ｛2，4｝∪｛1｝∪｛3｝    ｛3，4｝∪｛1｝∪｛2｝

考慮通常狀況，對於任意的含有n個元素a1 ，a2，……，an的集合S，放入k個無標號的盒子中去，劃分數爲S(n，k)，咱們很難憑直覺和經驗計算劃分數和枚舉劃分的全部方案，必須概括出問題的本質。其實對於任一個元素an，則必然出現如下兩種狀況：

一、｛an｝是k個子集中的一個，因而咱們只要把a1，a2，……，an-1 劃分爲k－1子集，便解決了本題，這種狀況下的劃分數共有S(n－1，k－1)個；

二、｛an｝不是k個子集中的一個，則an必與其它的元素構成一個子集。則問題至關於先把a1，a2，……，an-1 劃分紅k個子集，這種狀況下劃分數共有S(n－1，k)個；而後再把元素an加入到k個子集中的任一個中去，共有k種加入方式，這樣對於an的每一種加入方式，均可以使集合劃分爲k個子集，所以根據乘法原理，劃分數共有k * S(n－1，k)個

綜合上述兩種狀況，應用加法原理，得出n個元素的集合｛a1，a2，……，an｝劃分爲k個子集的劃分數爲如下遞歸公式：S(n，k)＝S(n－1，k－1) + k * S(n－1，k) (n>k，k>0)。

下面，咱們來肯定S(n，k)的邊界條件,首先不能把n個元素不放進任何一個集合中去，即k=0時，S(n，k)＝0；也不可能在不容許空盒的狀況下把n個元素放進多於n的k個集合中去，即k＞n時,S(n，k)＝0；再者，把n個元素放進一個集合或把n個元素放進n個集合，方案數顯然都是1，即k=1或k=n時，S(n,k)=1。

所以，咱們能夠得出劃分數S(n，k)的遞歸關係式爲：

S(n，k)＝S(n－1，k－1) + k * S(n－1，k)      (n>k，k>0)

S(n，k)＝0            (n<k)或(k＝0)

S(n，k)＝1            (k=1)或(k＝n)

代碼以下：

 1 #include <stdio.h>
 2 int jihe(int n,int k)//數據還有可能越界，請用高精度計算
 3 {
 4     if((n<k)||(k==0)) return 0;
 5     else if((k==1)||(k==n)) return 1;
 6     else return jihe(n-1,k-1)+k*jihe(n-1,k);    
 7 }
 8 int main()
 9 {
10     int n,k;
11     scanf("%d%d",&n,&k);
12     printf("%d\n",jihe(n,k)); 
13     return 0;
14 }