數的計算——遞歸與函數自調用算法

題目描述 Description

　　咱們要求找出具備下列性質數的個數(包含輸入的天然數n):
　　先輸入一個天然數n(n<=1000),而後對此天然數按照以下方法進行處理:
　　1.不做任何處理;
　　2.在它的左邊加上一個天然數,但該天然數不能超過原數的一半;
　　3.加上數後,繼續按此規則進行處理,直到不能再加天然數爲止.

 輸入輸出格式 Input/output

輸入格式：
一個天然數n(n<=1000)
輸出格式：
一個整數，表示具備該性質數的個數。

 輸入輸出樣例 Sample input/output

樣例測試點#1

輸入樣例：

6

輸出樣例：

6

思路：

方法一：

用遞歸，f(n)=1+f(1)+f(2)+…+f(div/2)，當n較大時會超時，時間應該爲指數級。

 

方法二：用記憶化搜索，其實是對方法一的改進。設h[i]表示天然數i知足題意三個條件的數的個數。若是用遞歸求解，會重複來求一些子問題。例如在求h[4]時，須要再求h[1]和h[2]的值。如今咱們用h數組記錄在記憶求解過程當中得出的全部子問題的解，當遇到重疊子問題時，直接使用前面記憶的結果。

 

方法三：

用遞推，用h(n)表示天然數n所能擴展的數據個數，則h(1)=1, h(2)=2, h(3)=2, h(4)=4, h(5)=4, h(6)=6, h(7)=6, h(8)=10, h(9)=10.分析以上數據，可得遞推公式：h(i)=1+h(1)+h(2)+…+h(i/2)。此算法的時間度爲O(n*n)。

設h[i]-i按照規則擴展出的天然數個數(1≤i≤n)。下表列出了h[i]值及其方案：

 

方法四：

w是對方法三的改進，咱們定義數組s，s(x)=h(1)+h(2)+…+h(x),h(x)=s(x)-s(x-1)，此算法的時間複雜度可降到O(n)。

 

方法五：

w仍是用遞推，只要做仔細分析，其實咱們還能夠獲得如下的遞推公式: (1)當i爲奇數時，h(i)=h(i-1);

w     (2)當i爲偶數時,h(i)=h(i-1)+h(i/2).

 

代碼①以下（遞歸）：

 1 #include<stdio.h>
 2 int ans;
 3 void dfs(int m)                           //統計m所擴展出的數據個數
 4 {
 5     int i;
 6     ans++;                                  //每出現一個原數，累加器加1；
 7     for (i = 1; i <= m/2; i++)         //左邊添加不超過原數一半的天然數，做爲新原數
 8     dfs(i); 
 9 }
10 int main()
11 {
12     int n;
13     scanf("%d",&n);
14     dfs(n);
15     printf("%d\n",ans);
16     return 0;
17 }

代碼②以下（非遞歸）：

 1 #include <stdio.h>    
 2 int main()    
 3 {    
 4     int a[1001]={0};   
 5     int n,p;
 6     scanf("%d",&n);  
 7     a[1]=1;  
 8     a[2]=2;    
 9     for(p=3;p<=n;p++)
10     {
11         if(p%2==1) 
12         {
13             a[p]=a[p-1];   
14         }
15         else 
16         {
17             a[p]=a[p-1]+a[p/2];    
18         }                  
19     } 
20     printf("%d\n",a[n]);
21     return 0;    
22 }