快速冪與快速模冪

快速冪

3 ^ 999 = 3 * 3 * 3 * … * 3 

直接乘要作998次乘法。但事實上能夠這樣作： 

3 ^ 2 = 3 * 3 

3 ^ 4 = (3 ^ 2) * (3 ^ 2) 

…………

3 ^ 256 = (3 ^ 128) * (3 ^ 128) 

3 ^ 512 = (3 ^ 256) * (3 ^ 256) 

再相乘： 

3 ^ 999 

= 3 ^ (512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 4 + 2 + 1) 

= (3 ^ 512) * (3 ^ 256) * (3 ^ 128) * (3 ^ 64) * (3 ^ 32) * (3 ^ 4) * (3 ^  2) * 3 

這樣只要作16次乘法。

把999轉爲2進制數：1111100111，其各位就是要乘的數。

1 1 1 1 1 0 0 1 1 1

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

對應的位置號是k就是3^(2^k)

模冪算法

1.遞歸解 
利用模運算規則，採用遞歸方式，計算X^N(% P) 　　
函數名：PowerMod 　　
輸入值：unsigned int x，底數x 　　
unsigned int n，指數n 　　
unsigned int p，模p 　　
返回值：unsigned int，X^N(% P)的結果 　　
*/ 　　
unsigned int PowerMod(unsigned int x, unsigned int n, unsigned int p) 　　
{ 　　
    if (n == 0){ 　　
        return 1; 　　
    } 　　
    unsigned int temp = PowerMod((x * x)%p, n/2, p); //遞歸計算（X*X）^[N/2] 　　
    if ((n & 1) != 0) //判斷n的奇偶性 　　
    { 　　
        temp = (temp * x) % p; 　　
    } 　　
    return temp; 　　
}  
                          

2 非遞歸解
long long  quickpow(long long   m , long long   n , long long   k){ 
     long long   ans = 1; 
     while(n){ 
         if(n&1)//若是n是奇數 
             ans = (ans * m ) % k; 
         n = n >> 1;//位運算「右移1相似除2」 
         m = (m * m) % k; 
     } 
     return ans; 

 }