座標變換(5)—用旋轉軸和旋轉角表示旋轉

任何旋轉，都可以用一個旋轉軸 $\hat \omega$ω^和一個旋轉角 $\theta$θ來描述。

1. 座標系的線速度和角速度

如上圖，在旋轉的剛體上，附加一個body frame $\{b\}${b}，記爲 $\{\hat{x},\hat{y},\hat{z}\}${x^,y^​,z^}。對於三個軸而言，繞着 $\hat \omega$ω^旋轉的軌跡爲圓。當然，上述座標軸 $\{\hat{x},\hat{y},\hat{z}\}${x^,y^​,z^}和 $\hat \omega$ω^是在fixed frame $\{S\}${S}座標系下的，下面將 $\hat \omega$ω^記爲 $\hat \omega_s$ω^s​，

繞着軸 $\hat \omega$ω^的角速度爲，
$w_s=\hat{w}\dot{\theta} \tag{1}$ws​=w^θ˙(1)
運動的線速度記爲 $\dot{\hat{x}}$x^˙，三個軸的線速度則爲，
$\begin{aligned} \dot{\hat{x}}&=w_s \times \hat{x} \\ \dot{\hat{y}}&=w_s \times \hat{y} \\ \dot{\hat{z}}&=w_s \times \hat{z} \end{aligned} \tag{2}$x^˙y^​˙​z^˙​=ws​×x^=ws​×y^​=ws​×z^​(2)
將三個軸的線速度統一寫爲，
$\dot{R}= \begin{bmatrix} w_s \times \hat{x} & w_s \times \hat{y} & w_s \times \hat{z} \end{bmatrix}=w_s \times R \tag{3}$R˙=[ws​×x^​ws​×y^​​ws​×z^​]=ws​×R(3)
爲了簡化公式(3)中的叉乘，特引入了 $[]$[]符號，將 $w \times R$w×R可以記爲矩陣的乘法 $[w]R$[w]R，其中 $[w]$[w]的定義如下：
對於 $\mathbb{R}^3$R3中的向量 $x=\begin{bmatrix}x_1 & x_2 &x_3\end{bmatrix}$x=[x1​​x2​​x3​​],定義 $[x]$[x]爲一個反對稱矩陣，
$[x]=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -x_{3} & x_{2} \\ x_{3} & 0 & -x_{1} \\ -x_{2} & x_{1} & 0 \end{array}\right]\tag{4}$[x]=⎣⎡​0x3​−x2​​−x3​0x1​​x2​−x1​0​⎦⎤​(4)
$[x]=-[x]^T \tag{5}$[x]=−[x]T(5)
上述所有 $3 \times 3$3×3的反對稱矩陣統稱爲 $so(3)$so(3)，小的。前面說過，旋轉矩陣屬於 $SO(3)$SO(3)，大的。下面有一個兩者結合起來有趣的性質，假定 $r_i^T$riT​爲 $R$R的第 $i$i行，即 $r_i$ri​是 $R^T$RT的第 $i$i列，則
$\begin{aligned} R[w]R^T &= R\begin{bmatrix} w_s\times r_1 & w_s\times r_2 &w_s\times r_3 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} r_1^{T}(w_s\times r_1) & r_1^T(w_s\times r_2) & r_1^T (w_s\times r_3) \\ r_2^{T}(w_s\times r_1) & r_2^T(w_s\times r_2) & r_2^T (w_s\times r_3) \\ r_3^{T}(w_s\times r_1) & r_3^T(w_s\times r_2) & r_3^T (w_s\times r_3) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & -r_3^Tw_s & r_2^Tw_s\\ r_3^Tw_s & 0 &-r_1^Tw_s\\ -r_2^Tw_s&r_1^Tw_s&0 \end{bmatrix}\\ &=[Rw_s] \end{aligned} \tag{6}$R[w]RT​=R[ws​×r1​​ws​×r2​​ws​×r3​​]=⎣⎡​r1T​(ws​×r1​)r2T​(ws​×r1​)r3T​(ws​×r1​)​r1T​(ws​×r2​)r2T​(ws​×r2​)r3T​(ws​×r2​)​r1T​(ws​×r3​)r2T​(ws​×r3​)r3T​(ws​×r3​)​⎦⎤​=⎣⎡​0r3T​ws​−r2T​ws​​−r3T​ws​0r1T​ws​​r2T​ws​−r1T​wT​ws​−r2T​ws​​−r3T​ws​0r1T​ws​​r2T​ws​−r1T​ws​0​⎦⎤​=[Rws​]​(6)

對於(6)中矩陣中的 $r_1^{T}(w_s\times r_2)$r1T​(ws​span>​ws​​−r3T​ws​0r1T​ws​​r2T​ws​−r1T​ws​0​⎦⎤​=[Rws​]​(6)

對於(6)中矩陣中的 $r_1^{T}(w_s\times r_2)$r1T​(ws​×r 3 T​ws​0