HDU-4190-Number Sequence-容斥原理+多重集和的r組合

HDU-4190-Number Sequence-容斥原理+多重集和的r組合

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【Problem Description】

給你\(n\)個數\(b_i\)，問有多少個長度爲\(n\)序列\(a_i\)，使得\(a_1\cdot a_2\dots a_n=b_1\cdot b_2\dots b_n\)。且\(a_i>1\)。

【Solution】

將全部\(b_i\)分解質因數，並分別統計每一個質因數出現的次數，那麼能夠確定，全部的\(a_i\)必定是從這些質因數中選取不一樣的組合相乘獲得的。

假設沒有\(a_i>1\)的限制，而後假設全部的\(b_i\)共有\(3\)個質因子，每一個質因子出現的次數分別爲\(a,b,c\)次。則總共有\({a+n-1\choose n-1}\cdot {b+n-1\choose n-1}\cdot {c+n-1\choose n-1}\)種長度爲\(n\)的\(a_i\)序列。即相似總共有\(n\)個不一樣的盒子，將\(a\)個紅球，\(b\)個藍球，\(c\)個綠球放進這\(n\)個盒子中有多少種不一樣的方案，能夠使得。

可是如今求得的答案數包括了\(a_i=1\)的狀況，須要去除，即減去\(1\)個位置爲空的方案數，再加上\(2\)個位置爲空的方案數，再減去\(\dots\)等等。\(i\)個位置爲空的方案數爲\({n\choose i}\cdot {a+n-1-i\choose n-1-i}\cdot {b+n-1-i\choose n-1-i}\cdot {c+n-1-i\choose n-1-i}\)。即先從\(n\)個盒子種選\(i\)個位置，有\({n\choose i}\)種方案，而後再乘以將\(a\)個紅球，\(b\)個藍球，\(c\)個綠球放進\(n-i\)個盒子中的方案數。

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【Code】

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define maxn 1000005
#define int long long
const int mod=1e9+7;
int a[25];
int prime[maxn],cnt=0;
bool vis[maxn]={1,1};
void Euler(){ //歐拉篩
    for(int i=2;i<maxn;i++){
        if(!vis[i]) prime[++cnt]=i;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<maxn;j++){
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}
map<int,int>mp; //統計每一個質因數出現的次數
void solve(int n){ //求質因數
    for(int i=1;i<=cnt&&prime[i]*prime[i]<=n;i++){
        int p=prime[i],num=0;
        if(n%p==0){
            while(n%p==0) n/=p,num++;   
            mp[p]+=num;
        }
    }
    if(n>1) mp[n]++;
}
int C[105][105]; //組合數
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);Euler();
    for(int i=0;i<105;i++) C[i][0]=1;
    for(int i=1;i<105;i++){ //預處理組合數
        for(int j=1;j<=i;j++){
            C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
        }
    }
    int n;
    while(cin>>n){
        mp.clear();
        for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i],solve(a[i]);
        int ans=1;
        for(auto v:mp){ //求出ai沒有限制時的方案數
            ans=(ans*C[v.second+n-1][n-1])%mod;
        }
        for(int i=1;i<n;i++){ //容斥減去ai=1的方案
            int tmp=C[n][i];
            for(auto v:mp){
                tmp=tmp*C[v.second+n-1-i][n-1-i]%mod;
            }
            ans=(ans+(i&1?-1:1)*tmp)%mod;
        }
        cout<<(ans+mod)%mod<<endl;
    }
    return 0;
}