組合數學—容斥原理與鴿巢原理

時間 2019-12-08

標籤組合數學原理简体版

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一寫在開頭

本文內容爲《組合數學》課程的最後一部分，容斥原理與鴿巢原理。這部分的內容分解圖以下。
對象

二容斥原理

以下圖所示。能夠獲得容斥原理的簡單形式
blog

\[ \begin{equation} \begin{split} \vert A \cup B \cup C \vert &= \vert A \vert + \vert B \vert + \vert C \vert\\ &- \vert A \cap B \vert - \vert A \cap C \vert - \vert B \cap C \vert\\ &- \vert A \cap B \cap C \vert \end{split} \end{equation} \]數學

全或形式的容斥原理以下
\[ \begin{equation} \begin{split} \vert A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n \vert &= \sum_{i=1}^n \vert A_i \vert\\ &-\sum_{i=1}^n \sum_{j > i} \vert A_i \cap A_j \vert\\ &+\sum_{i=1}^n \sum_{j > i} \sum_{k > j} \vert A_i \cap A_j \cap A_k \vert\\ &+...\\ &+(-1)^{n-1} \vert A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_n \vert \end{split} \end{equation} \]it

全非形式的容斥原理（逐步淘汰原理）以下
假設在集合$S$上討論$A_1, A_2, ..., A_n, \vert S \vert = N$，則有
\[ \begin{equation} \begin{split} \vert \overline{A_1} \cap \overline{A_2} \cap ... \cap \overline{A_n} \vert = N - \vert A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n \vert \end{split} \end{equation} \]
$\vert A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n \vert$的計算公式上上面已給出。io

容斥原理的第三種形式以下
\[ \begin{equation} \begin{split} \vert \overline{A_1} \cap \overline{A_2} \cap ... \cap \overline{A_{n-1}} \cap A_n \vert &= \vert A_n \vert\\ &-(\vert A_1 \cap A_n \vert + \vert A_2 \cap A_n \vert + ... + \vert A_{n-1} \cap A_n \vert)\\ &+(\vert A_1 \cap A_2 \cap A_n \vert + \vert A_1 \cap A_3 \cap A_n \vert + ... + \vert A_1 \cap A_{n-1} \cap A_n \vert + \vert A_2 \cap A_3 \cap A_n \vert + ... + \vert A_{n-2} \cap A_{n-1} \cap A_n \vert)\\ &-(\vert A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_n \vert + ... + \vert A_{n-3} \cap A_{n-2} \cap A_{n-1} \cap A_n \vert)\\ &+ ...\\ &+(-1)^{n-1} \vert A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_n \vert \end{split} \end{equation} \]class

容斥原理求解方案數舉例：求從$[1, 500]$的整數中，可以被3, 5, 7中的兩個數整除的數的個數。原理

解：令
$A_1$表示$[1, 500]$中能被3整除的數的集合
$A_2$表示$[1, 500]$中能被5整除的數的集合
$A_3$表示$[1, 500]$中能被7整除的數的集合
則所求個數爲$ \vert A_1A_2 \overline{A_3} \vert + \vert A_1A_3 \overline{A_2} \vert + \vert A_2A_3 \overline{A_1} \vert$循環

三鴿巢原理

鴿巢原理的簡單形式：有$n+1$只鴿子飛進$n$個巢中，那麼至少有一個鴿巢中有兩隻或兩隻以上的鴿子。

鴿巢原理的增強形式：設$m_1, m_2, ..., m_n$都是正整數，有$m_1 + m_2 + ... + m_n - n + 1$只鴿子飛進$n$個巢中，則下列$n$個命題中至少有一個成立。
或者第1個鴿巢，至少有$m_1$只鴿子
或者第2個鴿巢，至少有$m_2$只鴿子
...
或者第n個鴿巢，至少有$m_n$只鴿子

四 Ramsey定理

略

五 Burnside引理與波利亞定理

Burnside引理表述以下：
設$G$是$N=\{1, 2, ..., n\}$上的置換羣，$G$在$N$上可引出不一樣的等價類，其不一樣等價類的個數爲：
\[ l = \frac{1}{\vert G \vert}[ c_1(a_1) + c_1(a_2) + c_1(a_i) + ... + c_1(a_g)] \]
其中$c_1(a_i)$表示置換$a_i$做用後不變的方案個數。

波利亞定理表述以下：
設$N$是n個對象的集合，$\overline{G} = \{\overline{P_1}, \overline{P_2}, ... , \overline{P_g}\}$是$N$上的置換羣，用m種顏色$b_1, b_2, ..., b_m$對n個對象進行着色，設$C_k(\overline{P})$爲置換$\overline{P}$中$k-$循環的個數，令$S_k = b_1^k + b_2^k + ... + b_m^k~~ k=1,2,...,n$($S_k$爲每種顏色容許出現k次)，則具體着色方案數的多項式爲：
\[ P = \frac{1}{\vert \overline{G} \vert} \sum_{\overline{p_i} \in \overline{G}} S_1^{C_1(\overline{p_i})} \cdot S_2^{C_2(\overline{p_i})} \cdot ... \cdot S_n^{C_n(\overline{p_i})} \]